Além da velocidade, existe outra grandeza importante para caracterizar o movimento de uma partícula denominada momento linear ou quantidade de movimento. Todos nós sabemos que é muito mais difícil parar um caminhão pesado do que um carro que esteja se movendo com a mesma rapidez. Enunciamos este fato dizendo que o caminhão tem mais momento linear do que o carro. E se os dois carros tiverem a mesma massa, o mais rápido deles será mais difícil de parar do que o mais lento. Logo concluímos também que o carro mais rápido possui mais momento do que o mais lento. Momento significa inércia em movimento. Mais precisamente, o momento é definido como o produto da massa de um objeto pela sua velocidade, isto é,
p=m v (momento linear de uma partícula), í
onde m é a massa e v é o vetor velocidade da partícula. Sabe-se que Newton expressou sua segunda lei originalmente em termos do momento:
Em forma de equação isso significa o seguinte:
Fres=d pd t
Utilize seus conhecimentos de Física e Cálculo Diferencial e Integral e prove que a 2^a Lei de Newton conforme aprendeu anteriormente
F res =m a (segunda lei de Newton). é um caso particular da primeira equação, válido apenas para situações onde a massa da partícula é constante.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão fala sobre o momento linear, que é basicamente a quantidade de movimento de um objeto. A gente sabe que o momento linear é calculado multiplicando a massa do objeto pela sua velocidade, ou seja, . A pergunta quer que a gente mostre que a segunda lei de Newton ( ) é um caso específico da equação de Newton original que envolve o momento linear ( ), mas só quando a massa do objeto é constante. Então, vamos precisar usar conhecimentos de Física sobre movimento e cálculo diferencial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão do momento linear: Fres = dpdt . Agora, queremos ver como a força resultante ( ) se relaciona com a variação do momento linear no tempo. Segundo a primeira equação de Newton, temos:

Passo 3

Vamos expandir a derivada do momento linear. Sabemos que dpdt = ddt (m v) , então:

Passo 4

Agora, precisamos aplicar a regra do produto para derivadas, já que temos um produto de duas funções: a massa ddt (m v) = dmdt v + m dvdt e a velocidade . A regra do produto diz que:

Passo 5

Aqui vem o ponto chave: a questão especifica que a massa do objeto é constante. Isso significa que a derivada da massa em relação ao tempo é zero, ou seja, dpdt = 0 cdot v + m dvdt = m dvdt . Então, a expressão fica:

Passo 6

Sabemos que a aceleração a = dvdt é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
dpdt = m a
Substituindo essa na equação anterior, temos:

Passo 7

Agora, voltando à primeira equação de Newton, que relaciona a força resultante ao tempo de variação do momento linear:
Fres = dpdt = m a

Resposta

Assim, mostramos que, quando a massa é constante, a segunda lei de Newton é um caso especial da equação .

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