Um leopardo africano está de tocaia a 20 m a leste de um jipe de observação blindado. No instante
, o leopardo começa a perseguir um antílope que está a 50 m a leste do veículo. Durante os
iniciais do ataque, a coordenada
do leopardo varia com o tempo de acordo com a equação
. (a) Determine o deslocamento do leopardo durante o intervalo entre
e
. (b) Ache a velocidade média durante o mesmo intervalo. © Deduza uma expressão geral para a velocidade instantânea em função do tempo e, a partir dela, calcule a velocidade
para
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento de um leopardo que está perseguindo um antílope. A gente vai trabalhar com cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos sem se preocupar com as causas desse movimento. Para resolver esse problema, vamos precisar entender conceitos como deslocamento, velocidade média e velocidade instantânea. Vamos dar uma olhada nas três partes do exercício!
Passo 2
Parte (a): Determinar o deslocamento do leopardo entre
e
.
Primeiro, vamos entender o que é deslocamento. O deslocamento é a diferença entre a posição final e a posição inicial de um objeto. A equação fornecida para a posição
do leopardo em função do tempo
é:
Para encontrar o deslocamento, precisamos calcular
nos instantes
e
e depois subtrair os valores:
Vamos calcular cada posição:
Para
:
Para
:
Agora, calculamos o deslocamento:
Passo 3
Parte (b): Calcular a velocidade média durante o mesmo intervalo.
A velocidade média (
) é definida como o deslocamento total dividido pelo intervalo de tempo. A fórmula é:
Já sabemos que:
Então, substituindo na fórmula:
Passo 4
Parte ©: Deduzir uma expressão geral para a velocidade instantânea em função do tempo e calcular
para
e
.
A velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
Já temos a função posição:
Vamos derivar em relação a
:
Portanto, a expressão para a velocidade instantânea é:
Agora, vamos calcular
para
e
:
Para
:
Para
:
Resposta
(a) O deslocamento do leopardo entre
e
é 20 metros.
(b) A velocidade média durante esse intervalo é 10 m/s.
© A expressão geral para a velocidade instantânea é
. Assim:
- Para
, - Para
,