Uma aleta puntiforme, com comprimento de 40 mm e diâmetro de 2 mm , é fabricada com uma liga de alumínio ( k=140 W / mK ). a) Determine a taxa de transferência de calor na aleta para uma temperatura na base de 50^circ C e do fluido exterior de 25^circ C, h=1000 W / m 2 K e condição de extremidade adiabática. Um engenheiro sugere que com a manutenção da extremidade da aleta em uma temperatura de 0^circ C a taxa de transferência de calor pode ser aumentada. Determine a nova taxa de transferência de calor da aleta, mantendo-se iguais todas as demais condições do item anterior. (3.128)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma aleta pontual de alumínio com comprimento de 40 mm e diâmetro de 2 mm. Queremos descobrir quanta energia térmica essa aleta está transferindo quando a base está a 50°C e o ar ao redor está a 25°C, com um coeficiente de convecção de 1000 W/m²K. Além disso, tem um engenheiro que acha que, se a extremidade da aleta for mantida a 0°C, a transferência de calor vai aumentar. Então, a gente vai resolver duas partes: primeiro, encontrar a taxa de transferência de calor nas condições iniciais e, segundo, encontrar a nova taxa quando a extremidade está a 0°C. Para isso, vamos precisar usar fórmulas de condução de calor em aletas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da seção transversal da aleta. Como aleta é cilíndrica, a área Ac = pi ( d2 )^2 é dada por:
Ac = pi ( 0,002, m2 )^2 = pi times (0,001)^2 = 3,1416 times 10^-6, m²
onde é o diâmetro. Substituindo os valores:
²

Passo 3

Agora, vamos calcular a área lateral da aleta, que é a área por onde o calor será transferido para o ambiente. A fórmula é:
Alateral = pi d L
onde Alateral = pi times 0,002, m times 0,04, m = 0,0002513, m² é o comprimento da aleta. Substituindo:
²

Passo 4

Vimos que a transferência de calor na aleta pode ser calculada usando a fórmula da aleta pontual adiabática:
Q = raizh P k Ac (Tb - Tinfty)
Mas, na verdade, a equação correta para a taxa de transferência de calor em uma aleta adiabática é:
Q = raizh P k Ac (Tb - Tinfty)
onde:
  • é o coeficiente de convecção,
  • é o perímetro da seção transversal,
  • é a condutividade térmica,
  • é a área da seção transversal,
  • é a temperatura na base,
  • é a temperatura do fluido.

Passo 5

Vamos calcular o perímetro P = pi d = pi times 0,002, m = 0,006283, m da aleta:

Passo 6

Agora, substituímos todos os valores na fórmula para encontrar Q = raiz1000, W/m²K times 0,006283, m times 140, W/mK times 3,1416 times 10^-6, m² times (50 - 25), °C :
1000 times 0,006283 times 140 times 3,1416 times 10^-6 = 0,00275 ²²
Calculando dentro da raiz:
Q = raiz0,00275 times 25 = 0,0524 times 25 = 1,31, W
Então:

Passo 7

Agora, o engenheiro sugere que a extremidade da aleta seja mantida a 0°C. Isso muda a condição na extremidade e a fórmula para Qnova = raizh P k Ac1 + m L (Tb - Tinfty) também muda. Quando a extremidade está a uma temperatura fixa, a taxa de transferência de calor é dada por:
onde . Vamos calcular primeiro.

Passo 8

Calculando m = raiz1000 times 0,006283140 times 3,1416 times 10^-6 = raiz6,2830,000439 = raiz14300 approx 119,7, m^-1 :
1 + 119,7 times 0,04 = 1 + 4,788 = 5,788
Agora, calculamos :

Passo 9

Substituindo na fórmula de Qnova = raiz1000 times 0,006283 times 140 times 3,1416 times 10^-65,788 times (50 - 25) :
0,002755,788 approx 0,000475
Calculando dentro da raiz:
Qnova = raiz0,000475 times 25 approx 0,0218 times 25 = 0,545, W
Então:

Resposta

A taxa de transferência de calor na aleta é aproximadamente 1,31 W nas condições iniciais e 0,545 W quando a extremidade da aleta é mantida a 0°C.

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