Uma aleta puntiforme, com comprimento de 40 mm e diâmetro de 2 mm , é fabricada com uma liga de alumínio (
). a) Determine a taxa de transferência de calor na aleta para uma temperatura na base de
e do fluido exterior de
e condição de extremidade adiabática. Um engenheiro sugere que com a manutenção da extremidade da aleta em uma temperatura de
a taxa de transferência de calor pode ser aumentada. Determine a nova taxa de transferência de calor da aleta, mantendo-se iguais todas as demais condições do item anterior. (3.128)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma aleta pontual de alumínio com comprimento de 40 mm e diâmetro de 2 mm. Queremos descobrir quanta energia térmica essa aleta está transferindo quando a base está a 50°C e o ar ao redor está a 25°C, com um coeficiente de convecção de 1000 W/m²K. Além disso, tem um engenheiro que acha que, se a extremidade da aleta for mantida a 0°C, a transferência de calor vai aumentar. Então, a gente vai resolver duas partes: primeiro, encontrar a taxa de transferência de calor nas condições iniciais e, segundo, encontrar a nova taxa quando a extremidade está a 0°C. Para isso, vamos precisar usar fórmulas de condução de calor em aletas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área da seção transversal da aleta. Como aleta é cilíndrica, a área
é dada por:
onde
é o diâmetro. Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos calcular a área lateral da aleta, que é a área por onde o calor será transferido para o ambiente. A fórmula é:
onde
é o comprimento da aleta. Substituindo:
Passo 4
Vimos que a transferência de calor na aleta pode ser calculada usando a fórmula da aleta pontual adiabática:
Mas, na verdade, a equação correta para a taxa de transferência de calor em uma aleta adiabática é:
onde:
-
é o coeficiente de convecção, -
é o perímetro da seção transversal, -
é a condutividade térmica, -
é a área da seção transversal, -
é a temperatura na base, -
é a temperatura do fluido.
Passo 5
Vamos calcular o perímetro
da aleta:
Passo 6
Agora, substituímos todos os valores na fórmula para encontrar
:
Calculando dentro da raiz:
Então:
Passo 7
Agora, o engenheiro sugere que a extremidade da aleta seja mantida a 0°C. Isso muda a condição na extremidade e a fórmula para
também muda. Quando a extremidade está a uma temperatura fixa, a taxa de transferência de calor é dada por:
onde
. Vamos calcular
primeiro.
Passo 8
Calculando
:
Agora, calculamos
:
Passo 9
Substituindo na fórmula de
:
Calculando dentro da raiz:
Então:
Resposta
A taxa de transferência de calor na aleta é aproximadamente 1,31 W nas condições iniciais e 0,545 W quando a extremidade da aleta é mantida a 0°C.