Uma aleta puntiforme, com comprimento de 40 mm e diâmetro de 2 mm , é fabricada com uma liga de alumínio ( ). a) Determine a taxa de transferência de calor na aleta para uma temperatura na base de e do fluido exterior de e condição de extremidade adiabática. Um engenheiro sugere que com a manutenção da extremidade da aleta em uma temperatura de a taxa de transferência de calor pode ser aumentada. Determine a nova taxa de transferência de calor da aleta, mantendo-se iguais todas as demais condições do item anterior. (3.128)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma aleta pontual de alumínio com comprimento de 40 mm e diâmetro de 2 mm. Queremos descobrir quanta energia térmica essa aleta está transferindo quando a base está a 50°C e o ar ao redor está a 25°C, com um coeficiente de convecção de 1000 W/m²K. Além disso, tem um engenheiro que acha que, se a extremidade da aleta for mantida a 0°C, a transferência de calor vai aumentar. Então, a gente vai resolver duas partes: primeiro, encontrar a taxa de transferência de calor nas condições iniciais e, segundo, encontrar a nova taxa quando a extremidade está a 0°C. Para isso, vamos precisar usar fórmulas de condução de calor em aletas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da seção transversal da aleta. Como aleta é cilíndrica, a área é dada por:
onde é o diâmetro. Substituindo os valores:
²

Passo 3

Agora, vamos calcular a área lateral da aleta, que é a área por onde o calor será transferido para o ambiente. A fórmula é:
onde é o comprimento da aleta. Substituindo:
²

Passo 4

Vimos que a transferência de calor na aleta pode ser calculada usando a fórmula da aleta pontual adiabática:
Mas, na verdade, a equação correta para a taxa de transferência de calor em uma aleta adiabática é:
onde:
  • é o coeficiente de convecção,
  • é o perímetro da seção transversal,
  • é a condutividade térmica,
  • é a área da seção transversal,
  • é a temperatura na base,
  • é a temperatura do fluido.

Passo 5

Vamos calcular o perímetro da aleta:

Passo 6

Agora, substituímos todos os valores na fórmula para encontrar :
²²
Calculando dentro da raiz:
Então:

Passo 7

Agora, o engenheiro sugere que a extremidade da aleta seja mantida a 0°C. Isso muda a condição na extremidade e a fórmula para também muda. Quando a extremidade está a uma temperatura fixa, a taxa de transferência de calor é dada por:
onde . Vamos calcular primeiro.

Passo 8

Calculando :
Agora, calculamos :

Passo 9

Substituindo na fórmula de :
Calculando dentro da raiz:
Então:

Resposta

A taxa de transferência de calor na aleta é aproximadamente 1,31 W nas condições iniciais e 0,545 W quando a extremidade da aleta é mantida a 0°C.

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