Uma aproximação grosseira para a componente da velocidade em uma camada limite laminar e incompressível é uma variação linear de na superfície ( ) até a velocidade de corrente livre, , na borda da camada limite ( ). A equação do perfil é , onde , sendo c uma constante. Mostre que a expressão mais simples para a componente da velocidade é . Avalie o valor máximo da razão (que ocorre em ) em um local onde e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a velocidade em uma camada limite laminar e incompressível. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para a componente da velocidade ( ) e depois calcular a razão no ponto onde . Para isso, vamos precisar usar a equação de continuidade para fluxos incompressíveis e entender como as velocidades e se comportam dentro da camada limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dada para a componente da velocidade:
Aqui, é a velocidade de corrente livre e é a espessura da camada limite, que varia com a posição conforme:
onde é uma constante. Nossa missão é encontrar uma expressão para usando a equação de continuidade, que para fluxos incompressíveis é:

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Sabemos que , então:
Substituindo de volta:

Passo 4

Agora, usando a equação de continuidade:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Considerando que na superfície ( ), a velocidade , então . Portanto:
Mas como , podemos substituir :
Como estamos trabalhando com magnitudes, podemos ignorar o sinal negativo:
Substituindo e na borda da camada, obtemos:
Então, a expressão mais simples para a componente da velocidade é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a razão no ponto onde , m e mm ( m).
Usando a expressão que encontramos:
Na borda da camada ( ):
Então:
Agora, a razão é:
Substituindo os valores:

Resposta

A razão máxima é de 0,0025.

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