Uma aproximação grosseira para a componente x da velocidade em uma camada limite laminar e incompressível é uma variação linear de u=0 na superfície ( y=0 ) até a velocidade de corrente livre, U, na borda da camada limite ( y=de ). A equação do perfil é u=U y / de, onde de, sendo c uma constante. Mostre que a expressão mais simples para a componente y da velocidade é v=u y / 4 x. Avalie o valor máximo da razão v / U (que ocorre em y=de ) em um local onde x=0,5 m e de.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a velocidade em uma camada limite laminar e incompressível. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para a componente da velocidade ( ) e depois calcular a razão no ponto onde . Para isso, vamos precisar usar a equação de continuidade para fluxos incompressíveis e entender como as velocidades e se comportam dentro da camada limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dada para a componente u = U yde da velocidade:
de
Aqui, partial upartial x + partial vpartial y = 0 é a velocidade de corrente livre e é a espessura da camada limite, que varia com a posição conforme:
onde é uma constante. Nossa missão é encontrar uma expressão para usando a equação de continuidade, que para fluxos incompressíveis é:

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de partial upartial x = partialpartial x ( U yde em relação a partial de:
partial upartial x = U y(c x^1/2)^2 cdot c2 x^-1/2 = U yc^2 x cdot c2 x^-1/2 = U y2 c x^3/2
Sabemos que , então:
Substituindo de volta:

Passo 4

Agora, usando a equação de continuidade:
partial vpartial y = -partial upartial x = -U y2 c x^3/2
Vamos integrar em relação a v = -integral U y2 c x^3/2 dy + C para encontrar v = -U2 c x^3/2 cdot y^22 + C = -U y^24 c x^3/2 + C :
v = -U y^24 c x^3/2
v = -U y^24 de
Considerando que na superfície ( v = U y^24 de), a velocidade v = U y4 x , então v = u y4 x . Portanto:
Mas como , podemos substituir :
Como estamos trabalhando com magnitudes, podemos ignorar o sinal negativo:
Substituindo e na borda da camada, obtemos:
Então, a expressão mais simples para a componente da velocidade é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a razão v = u y4 x no ponto onde u = U (pois u = U yde, v = U cdot de m e vU = de mm ( vU = 0,0054 cdot 0,5 = 0,0052 = 0,0025 m).
Usando a expressão que encontramos:
Na borda da camada ( ):
Então:
Agora, a razão é:
Substituindo os valores:

Resposta

A razão máxima é de 0,0025.

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