Uma aproximação grosseira para a componente
da velocidade em uma camada limite laminar e incompressível é uma variação linear de
na superfície (
) até a velocidade de corrente livre,
, na borda da camada limite (
). A equação do perfil é
, onde
, sendo c uma constante. Mostre que a expressão mais simples para a componente
da velocidade é
. Avalie o valor máximo da razão
(que ocorre em
) em um local onde
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a velocidade em uma camada limite laminar e incompressível. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para a componente
da velocidade (
) e depois calcular a razão
no ponto onde
. Para isso, vamos precisar usar a equação de continuidade para fluxos incompressíveis e entender como as velocidades
e
se comportam dentro da camada limite.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dada para a componente
da velocidade:
Aqui,
é a velocidade de corrente livre e
é a espessura da camada limite, que varia com a posição
conforme:
onde
é uma constante. Nossa missão é encontrar uma expressão para
usando a equação de continuidade, que para fluxos incompressíveis é:
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Sabemos que
, então:
Substituindo de volta:
Passo 4
Agora, usando a equação de continuidade:
Vamos integrar em relação a
para encontrar
:
Considerando que na superfície (
), a velocidade
, então
. Portanto:
Mas como
, podemos substituir
:
Como estamos trabalhando com magnitudes, podemos ignorar o sinal negativo:
Substituindo
e
na borda da camada, obtemos:
Então, a expressão mais simples para a componente
da velocidade é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a razão
no ponto onde
,
m e
mm (
m).
Usando a expressão que encontramos:
Na borda da camada (
):
Então:
Agora, a razão
é:
Substituindo os valores:
Resposta
A razão máxima
é de 0,0025.