Alguém propôs a você participar de um jogo cujas regras são as seguintes: Você terá que lançar um dado tantas vezes quanto for necessário até obter um 6 pela primeira vez. Cada lançamento do dado vai lhe custar R . Se você conseguir obter um 6 em no máximo 3 tentativas, ganhará um prêmio de R . O jogo termina no momento em que você obtiver o primeiro 6 ou quando você completar sem sucesso as 3 tentativas. b) Qual deveria ser o valor do prêmio (ao invés dos ) para que a expectativa de ganho líquido fosse nula?

Passo 1

Vamos resumir o problema: você joga um dado e paga R$ 10,00 por cada tentativa até conseguir um 6 ou até fazer 3 tentativas. Se conseguir um 6 nas primeiras 3 tentativas, ganha um prêmio de R$ 100,00. Queremos descobrir qual deveria ser o valor do prêmio para que, em média, você não ganhe nem perca dinheiro. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de **probabilidade** e **esperança matemática** (ou expectativa). A ideia é calcular a média dos ganhos e dos custos para encontrar o valor do prêmio que iguala essas duas quantias.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de conseguir um 6 em até 3 tentativas. A probabilidade de tirar um 6 em uma única tentativa é de , e de não tirar é . - **Na 1ª tentativa:** A probabilidade de tirar 6 é . - **Na 2ª tentativa:** Você não tirou 6 na primeira (prob. ) e tirou 6 na segunda: . - **Na 3ª tentativa:** Não tirou 6 nas duas primeiras (prob. ) e tira 6 na terceira: . Então, a probabilidade total de ganhar o prêmio é:

Passo 3

Calculando essa probabilidade:

Passo 4

Agora, vamos calcular o **custo esperado**. Você paga R$ 10,00 por cada tentativa até conseguir um 6 ou até fazer 3 tentativas. Precisamos encontrar o número médio de tentativas. O número esperado de tentativas pode ser calculado como: Onde: - - - (a última parte é quando não consegue 6 nas 3 tentativas, mas como o jogo termina, consideramos apenas as 3 tentativas) Calculando: Multiplicando pelo custo por tentativa:

Passo 5

Agora, queremos que a **expectativa de ganho líquido** seja nula. Ou seja: ê Substituindo os valores: ê Resolvendo para o Prêmio: ê

Resposta

O valor do prêmio deveria ser aproximadamente **R$ 15,50** para que a expectativa de ganho líquido fosse nula.

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