Alguém propôs a você participar de um jogo cujas regras são as seguintes:
Você terá que lançar um dado tantas vezes quanto for necessário até obter um 6 pela primeira vez. Cada lançamento do dado vai lhe custar R
. Se você conseguir obter um 6 em no máximo 3 tentativas, ganhará um prêmio de R
. O jogo termina no momento em que você obtiver o primeiro 6 ou quando você completar sem sucesso as 3 tentativas.
b) Qual deveria ser o valor do prêmio (ao invés dos
) para que a expectativa de ganho líquido fosse nula?
Você terá que lançar um dado tantas vezes quanto for necessário até obter um 6 pela primeira vez. Cada lançamento do dado vai lhe custar R
b) Qual deveria ser o valor do prêmio (ao invés dos
Passo 1
Vamos resumir o problema: você joga um dado e paga R$ 10,00 por cada tentativa até conseguir um 6 ou até fazer 3 tentativas. Se conseguir um 6 nas primeiras 3 tentativas, ganha um prêmio de R$ 100,00. Queremos descobrir qual deveria ser o valor do prêmio para que, em média, você não ganhe nem perca dinheiro.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de probabilidade e esperança matemática (ou expectativa). A ideia é calcular a média dos ganhos e dos custos para encontrar o valor do prêmio que iguala essas duas quantias.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de conseguir um 6 em até 3 tentativas. A probabilidade de tirar um 6 em uma única tentativa é de
, e de não tirar é
.
- Na 1ª tentativa: A probabilidade de tirar 6 é
. - Na 2ª tentativa: Você não tirou 6 na primeira (prob.
) e tirou 6 na segunda: . - Na 3ª tentativa: Não tirou 6 nas duas primeiras (prob.
) e tira 6 na terceira: .
Então, a probabilidade total de ganhar o prêmio é:
Passo 3
Calculando essa probabilidade:
Passo 4
Agora, vamos calcular o custo esperado. Você paga R$ 10,00 por cada tentativa até conseguir um 6 ou até fazer 3 tentativas. Precisamos encontrar o número médio de tentativas.
O número esperado de tentativas
pode ser calculado como:
Onde:
-
-
-
(a última parte é quando não consegue 6 nas 3 tentativas, mas como o jogo termina, consideramos apenas as 3 tentativas)
Calculando:
Multiplicando pelo custo por tentativa:
Passo 5
Agora, queremos que a expectativa de ganho líquido seja nula. Ou seja:
Substituindo os valores:
Resolvendo para o Prêmio:
Resposta
O valor do prêmio deveria ser aproximadamente R$ 15,50 para que a expectativa de ganho líquido fosse nula.