Alguém propôs a você participar de um jogo cujas regras são as seguintes:
Você terá que lançar um dado tantas vezes quanto for necessário até obter um 6 pela primeira vez. Cada lançamento do dado vai lhe custar R . Se você conseguir obter um 6 em no máximo 3 tentativas, ganhará um prêmio de R Se você conseguir obter um 6 em no máximo 3 tentativas, ganhará um prêmio de R . O jogo termina no momento em que você obtiver o primeiro 6 ou quando você completar sem sucesso as 3 tentativas.
b) Qual deveria ser o valor do prêmio (ao invés dos 100,00 ) para que a expectativa de ganho líquido fosse nula?

Passo 1

Vamos resumir o problema: você joga um dado e paga R$ 10,00 por cada tentativa até conseguir um 6 ou até fazer 3 tentativas. Se conseguir um 6 nas primeiras 3 tentativas, ganha um prêmio de R$ 100,00. Queremos descobrir qual deveria ser o valor do prêmio para que, em média, você não ganhe nem perca dinheiro.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de probabilidade e esperança matemática (ou expectativa). A ideia é calcular a média dos ganhos e dos custos para encontrar o valor do prêmio que iguala essas duas quantias.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de conseguir um 6 em até 3 tentativas. A probabilidade de tirar um 6 em uma única tentativa é de P = 16 + 56 times 16 + (56)^2 times 16 , e de não tirar é .
  • Na 1ª tentativa: A probabilidade de tirar 6 é .
  • Na 2ª tentativa: Você não tirou 6 na primeira (prob. ) e tirou 6 na segunda: .
  • Na 3ª tentativa: Não tirou 6 nas duas primeiras (prob. ) e tira 6 na terceira: .
Então, a probabilidade total de ganhar o prêmio é:

Passo 3

Calculando essa probabilidade:
P = 16 + 536 + 25216 = 36216 + 30216 + 25216 = 91216

Passo 4

Agora, vamos calcular o custo esperado. Você paga R$ 10,00 por cada tentativa até conseguir um 6 ou até fazer 3 tentativas. Precisamos encontrar o número médio de tentativas.
O número esperado de tentativas 10,00 por cada tentativa até conseguir um 6 ou até fazer 3 tentativas Precisamos encontrar o número médio de tentativas O número esperado de tentativas ( E[T] ) pode ser calculado como: [ E[T] = 1 times P(1) + 2 times P(2) + 3 times P(3) ] Onde: - ( P(1) = 16 ) - ( P(2) = 56 times 16 ) - ( P(3) = 56^2 times 16 + 56^3 ) (a ú pode ser calculado como:
Onde:
  • (a última parte é quando não consegue 6 nas 3 tentativas, mas como o jogo termina, consideramos apenas as 3 tentativas)
Calculando:
Multiplicando pelo custo por tentativa:

Passo 5

Agora, queremos que a expectativa de ganho líquido seja nula. Ou seja:
Prêmio times P - Custo Esperado = 0 ê
Substituindo os valores:
Prêmio times 91216 - 6,53 = 0 ê
Resolvendo para o Prêmio:
Prêmio = 6,53 times 21691 approx 1410,4891 approx R$15,50 ê

Resposta

O valor do prêmio deveria ser aproximadamente R$ 15,50 para que a expectativa de ganho líquido fosse nula.

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