Quantos números de 4 algarismos de base 10 possuem algarismos crescentes?

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos descobrir quantos números de 4 algarismos na base 10 têm seus algarismos em ordem crescente. Isso envolve combinatória, especificamente combinações sem repetição, já que queremos selecionar dígitos distintos e organizados de forma crescente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os possíveis algarismos que podemos usar. Na base 10, temos os dígitos de 0 a 9. Porém, como estamos lidando com números de 4 algarismos, o primeiro dígito não pode ser zero, pois isso resultaria em um número de 3 algarismos.

Passo 3

Então, o primeiro algarismo pode ser de 1 a 9, e os demais podem ser de 0 a 9, mas todos devem ser distintos e em ordem crescente. Isso significa que estamos essencialmente escolhendo 4 dígitos distintos dentre os 9 possíveis (1 a 9), já que o zero não pode ser usado como primeiro dígito e, portanto, não será considerado aqui para manter a ordem crescente.

Passo 4

Para contar o número de combinações possíveis, usamos a fórmula de combinações sem repetição, que é dada por:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Onde é o total de elementos para escolher e é o número de elementos a serem escolhidos.

Passo 5

Aqui, temos C(9, 4) = 9!4!(9 - 4)! = 9!4!5! (dígitos de 1 a 9) e (já que queremos números de 4 algarismos). Aplicando a fórmula:

Passo 6

Calculando os fatoriais:
  • C(9, 4) = 36288024 times 120 = 3628802880 = 126
Então,

Resposta

Existem 126 números de 4 algarismos na base 10 com algarismos crescentes.

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