Um atirador fez uma aposta com um amigo: ele atiraria no alvo 10 vezes e ganharia a aposta se conseguisse acertar na mosca pelo menos 8 vezes. Sabe-se, com base no desempenho usual desse atirador, que ele costuma acertar na mosca em 70% das vezes. Qual a probabilidade de que o atirador ganhe a aposta?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um atirador que vai disparar 10 vezes no alvo e quer acertar a mosca pelo menos 8 vezes para ganhar a aposta. Sabemos que ele costuma acertar 70% das vezes. Para resolver isso, vamos usar a distribuição binomial, que nos ajuda a calcular probabilidades de eventos com dois resultados possíveis (acertar ou errar) em várias tentativas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da distribuição binomial. Ela calcula a probabilidade de obter exatamente P(X = k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k sucessos em tentativas, onde a probabilidade de sucesso em cada tentativa é . A fórmula é:
Aqui, é o coeficiente binomial, que representa o número de maneiras de escolher sucessos em tentativas.

Passo 3

No nosso caso, (total de disparos), (probabilidade de acertar cada disparo) e queremos calcular a probabilidade de . Ou seja, precisamos encontrar , e , e somar esses valores.

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
  1. Para P(X = 8) = binom108 times 0,7^8 times 0,3^2 :
binom108 = 45
P(X = 8) = 45 times 0,7^8 times 0,3^2 approx 45 times 0,05764801 times 0,09 approx 0,234
P(X = 9) = binom109 times 0,7^9 times 0,3^1
  1. Para binom109 = 10 :
P(X = 9) = 10 times 0,7^9 times 0,3 approx 10 times 0,040353607 times 0,3 approx 0,121
P(X = 10) = binom1010 times 0,7^10 times 0,3^0
binom1010 = 1
  1. Para P(X = 10) = 1 times 0,7^10 times 1 approx 0,0282475249 approx 0,028 :

Passo 5

Agora, somamos todas essas probabilidades para encontrar a chance de acertar pelo menos 8 vezes:
P(X >= 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) approx 0,234 + 0,121 + 0,028 = 0,383

Resposta

A probabilidade de que o atirador ganhe a aposta é de aproximadamente 38,3%.

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