Um atirador fez uma aposta com um amigo: ele atiraria no alvo 10 vezes e ganharia a aposta se conseguisse acertar na mosca pelo menos 8 vezes. Sabe-se, com base no desempenho usual desse atirador, que ele costuma acertar na mosca em 70% das vezes. Qual a probabilidade de que o atirador ganhe a aposta?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um atirador que vai disparar 10 vezes no alvo e quer acertar a mosca pelo menos 8 vezes para ganhar a aposta. Sabemos que ele costuma acertar 70% das vezes. Para resolver isso, vamos usar a distribuição binomial, que nos ajuda a calcular probabilidades de eventos com dois resultados possíveis (acertar ou errar) em várias tentativas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula da distribuição binomial. Ela calcula a probabilidade de obter exatamente
sucessos em
tentativas, onde a probabilidade de sucesso em cada tentativa é
. A fórmula é:
Aqui,
é o coeficiente binomial, que representa o número de maneiras de escolher
sucessos em
tentativas.
Passo 3
No nosso caso,
(total de disparos),
(probabilidade de acertar cada disparo) e queremos calcular a probabilidade de
. Ou seja, precisamos encontrar
,
e
, e somar esses valores.
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora, somamos todas essas probabilidades para encontrar a chance de acertar pelo menos 8 vezes:
Resposta
A probabilidade de que o atirador ganhe a aposta é de aproximadamente 38,3%.