Um engenheiro civil deseja testar a hipótese de que a resistência média de todas as amostras de concreto em um determinado projeto é de pelo menos 26 MPa (megapascals). Ele coleta uma amostra de
cubos de concreto e supõe que a média amostral é de 24 MPa . O engenheiro pretende realizar esse teste de hipótese com um nível de confiança de
, levando em consideração que o desvio padrão das resistências do concreto é conhecido, ou seja,
.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Um engenheiro civil quer verificar se a resistência média de todas as amostras de concreto em um projeto é pelo menos 26 MPa. Ele coletou uma amostra de 36 cubos de concreto, cuja média foi de 24 MPa. Sabemos que o desvio padrão das resistências do concreto é 4,3 MPa. Para resolver isso, vamos usar o teste de hipótese da média, já que queremos comparar a média amostral com um valor específico.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses que iremos testar:
- Hipótese Nula (
): A resistência média é pelo menos 26 MPa. Matemáticamente, . - Hipótese Alternativa (
): A resistência média é menor que 26 MPa. Matemáticamente, .
Esse é um teste unilateral à esquerda porque estamos verificando se a média é menor que um valor específico.
Passo 3
Vamos estabelecer o nível de significância do teste. O engenheiro quer um nível de confiança de 98%, o que significa que o nível de significância (
) é:
Isso indica a probabilidade máxima que estamos dispostos a aceitar para cometer um erro tipo I (rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira).
Passo 4
Como conhecemos o desvio padrão da população (
) e temos um tamanho de amostra razoável (
), usaremos o teste z para a média.
A fórmula do z-score é:
Onde:
-
(média amostral) -
(valor da hipótese nula) -
(desvio padrão) -
(tamanho da amostra)
Vamos calcular:
Passo 5
Agora, precisamos determinar o valor crítico para o nosso teste. Como é um teste unilateral à esquerda com
, buscamos o valor de z que deixa 2% da distribuição à esquerda.
Consultando uma tabela z ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico é aproximadamente -2,0537.
Passo 6
Comparamos o nosso z calculado com o valor crítico:
- Se
, rejeitamos a hipótese nula. - Se
, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso:
Portanto, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com um nível de confiança de 98%, há evidências suficientes para concluir que a resistência média do concreto é menor que 26 MPa.