Um engenheiro civil deseja testar a hipótese de que a resistência média de todas as amostras de concreto em um determinado projeto é de pelo menos 26 MPa (megapascals). Ele coleta uma amostra de n=36 cubos de concreto e supõe que a média amostral é de 24 MPa . O engenheiro pretende realizar esse teste de hipótese com um nível de confiança de 98 %, levando em consideração que o desvio padrão das resistências do concreto é conhecido, ou seja, sigma=4,3 MPa.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Um engenheiro civil quer verificar se a resistência média de todas as amostras de concreto em um projeto é pelo menos 26 MPa. Ele coletou uma amostra de 36 cubos de concreto, cuja média foi de 24 MPa. Sabemos que o desvio padrão das resistências do concreto é 4,3 MPa. Para resolver isso, vamos usar o teste de hipótese da média, já que queremos comparar a média amostral com um valor específico.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que iremos testar:
  • Hipótese Nula ( H0): A resistência média é pelo menos 26 MPa. Matemáticamente, H0: mu >= 26.
  • Hipótese Alternativa ( H1): A resistência média é menor que 26 MPa. Matemáticamente, H1: mu < 26.
Esse é um teste unilateral à esquerda porque estamos verificando se a média é menor que um valor específico.

Passo 3

Vamos estabelecer o nível de significância do teste. O engenheiro quer um nível de confiança de 98%, o que significa que o nível de significância ( alpha) é:
alpha = 1 - 0,98 = 0,02 ou 2%
Isso indica a probabilidade máxima que estamos dispostos a aceitar para cometer um erro tipo I (rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira).

Passo 4

Como conhecemos o desvio padrão da população ( sigma = 4,3 MPa) e temos um tamanho de amostra razoável ( n = 36), usaremos o teste z para a média.
A fórmula do z-score é:
z = barx - mu0sigmaraizn
Onde:
  • barx = 24 MPa (média amostral)
  • mu0 = 26 MPa (valor da hipótese nula)
  • sigma = 4,3 MPa (desvio padrão)
  • n = 36 (tamanho da amostra)
Vamos calcular:
z = 24 - 264,3raiz36 = -24,36 = -20,7167 approx -2,789

Passo 5

Agora, precisamos determinar o valor crítico para o nosso teste. Como é um teste unilateral à esquerda com alpha = 0,02, buscamos o valor de z que deixa 2% da distribuição à esquerda.
Consultando uma tabela z ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico é aproximadamente -2,0537.

Passo 6

Comparamos o nosso z calculado com o valor crítico:
  • Se z <= -2,0537, rejeitamos a hipótese nula.
  • Se z > -2,0537, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso:
-2,789 < -2,0537
Portanto, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com um nível de confiança de 98%, há evidências suficientes para concluir que a resistência média do concreto é menor que 26 MPa.

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