Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condiçōes. Ele sabe que essa variável é normalmente distribuída com variância igual a 4 unidades ^2.
Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 10 , obtendo-se os seguintes valores:
llllllllll 7,9 & 6,8 & 5,4 & 7,5 & 7,9 & 6,4 & 8,0 & 6,3 & 4,4 & 5,9
c) Qual o tamanho da amostra necessário para que o erro cometido, ao estimarmos a resistência média, nāo seja superior a 0,1 unidade com probabilidade 0,90 ? E se quiséssemos um erro máximo de 0,01 unidade com a mesma probabilidade?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede. Temos uma variável que representa a resistência de um material, e sabemos que ela segue uma distribuição normal com variância igual a 4 unidades². Queremos determinar qual o tamanho da amostra necessário para que, ao estimarmos a média dessa resistência, o erro não seja superior a 0,1 unidade e, depois, a 0,01 unidade, ambos com 90% de probabilidade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística sobre estimação de médias e tamanho de amostra.

Passo 2

Para determinar o tamanho da amostra necessário, usamos a fórmula do intervalo de confiança para a média quando a variância é conhecida. A fórmula para o tamanho da amostra n = ( zalpha/2 cdot sigmaE )^2 é:
Aqui:
  • é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado.
  • é o desvio padrão da população.
  • é o erro máximo tolerado.

Passo 3

Primeiro, precisamos encontrar o valor de z0,05 approx 1,645 para um nível de confiança de 90%. Isso significa que queremos que 90% das amostras estejam dentro do intervalo de confiança. Olhando na tabela da distribuição normal padrão, encontramos que:
Isso porque e .

Passo 4

Agora, vamos calcular o tamanho da amostra necessário para que o erro não seja superior a 0,1 unidade.
Sabemos que a variância n = ( 1,645 cdot 20,1 )^2 = ( 3,290,1 )^2 = (32,9)^2 = 1082,41 , então o desvio padrão n = 1083 .
Substituindo na fórmula:
Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro, arredondamos para cima:

Passo 5

Agora, vamos calcular o tamanho da amostra necessário para que o erro não seja superior a 0,01 unidade com a mesma probabilidade de 90%.
Usando a mesma fórmula:
n = ( 1,645 cdot 20,01 )^2 = ( 3,290,01 )^2 = (329)^2 = 108241
Arredondando para cima:
n = 108241

Resposta

Para garantir que o erro na estimativa da resistência média não seja superior a 0,1 unidade com 90% de probabilidade, o tamanho da amostra necessário é de 1.083 indivíduos. Se quisermos que o erro máximo seja de 0,01 unidade com a mesma probabilidade, o tamanho da amostra necessário sobe para 108.241 indivíduos.

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