Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condiçōes. Ele sabe que essa variável é normalmente distribuída com variância igual a 4 unidades
.
Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 10 , obtendo-se os seguintes valores:
c) Qual o tamanho da amostra necessário para que o erro cometido, ao estimarmos a resistência média, nāo seja superior a 0,1 unidade com probabilidade 0,90 ? E se quiséssemos um erro máximo de 0,01 unidade com a mesma probabilidade?
Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 10 , obtendo-se os seguintes valores:
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede. Temos uma variável que representa a resistência de um material, e sabemos que ela segue uma distribuição normal com variância igual a 4 unidades². Queremos determinar qual o tamanho da amostra necessário para que, ao estimarmos a média dessa resistência, o erro não seja superior a 0,1 unidade e, depois, a 0,01 unidade, ambos com 90% de probabilidade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística sobre estimação de médias e tamanho de amostra.
Passo 2
Para determinar o tamanho da amostra necessário, usamos a fórmula do intervalo de confiança para a média quando a variância é conhecida. A fórmula para o tamanho da amostra
é:
Aqui:
-
é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado. -
é o desvio padrão da população. -
é o erro máximo tolerado.
Passo 3
Primeiro, precisamos encontrar o valor de
para um nível de confiança de 90%. Isso significa que queremos que 90% das amostras estejam dentro do intervalo de confiança. Olhando na tabela da distribuição normal padrão, encontramos que:
Isso porque
e
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o tamanho da amostra necessário para que o erro não seja superior a 0,1 unidade.
Sabemos que a variância
, então o desvio padrão
.
Substituindo na fórmula:
Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro, arredondamos para cima:
Passo 5
Agora, vamos calcular o tamanho da amostra necessário para que o erro não seja superior a 0,01 unidade com a mesma probabilidade de 90%.
Usando a mesma fórmula:
Arredondando para cima:
Resposta
Para garantir que o erro na estimativa da resistência média não seja superior a 0,1 unidade com 90% de probabilidade, o tamanho da amostra necessário é de 1.083 indivíduos. Se quisermos que o erro máximo seja de 0,01 unidade com a mesma probabilidade, o tamanho da amostra necessário sobe para 108.241 indivíduos.