Para algumas aplicações, torna-se necessário endurecer a superfície de um aço (ou de uma liga ferro carbono) a níveis superiores aos que existem no seu interior. Uma das maneiras de se conseguir isso é através do aumento da concentração de carbono na superfície do material, através do processo denominado carbonetação. A peça de aço é exposta, sob uma temperatura elevada, a uma atmosfera rica em um hidrocarboneto gasoso, tal como o metano CH4.
Considere uma dessas ligas contendo uma concentração inicial uniforme de carbono de 0,25 %p e que deve ser tratada a 950^circ C. Se a concentração de carbono na superfície for repentinamente elevada e mantida em 1,2 %p, quanto tempo será necessário para atingir um teor de carbono de 0,8 % p em uma posição localizada 0,5 mm abaixo da superfície? O coeficiente de difusão para o carbono no ferro sob essa temperatura é de 1,6 times 10^-11 m^2 / s; considere a peça de aço como semi-infinita.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma peça de aço com uma concentração inicial de carbono de 0,25% p. Queremos aumentar a concentração de carbono na superfície para 1,2% p usando o processo de carbonetação a uma temperatura de 950°C. O objetivo é descobrir quanto tempo leva para que, a 0,5 mm abaixo da superfície, a concentração de carbono atinja 0,8% p. Para resolver isso, vamos usar difusão de carbono no ferro e a equação de difusão para meios semi-infinitos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a difusão. É o processo pelo qual átomos ou moléculas se movem de áreas de maior concentração para áreas de menor concentração. No nosso caso, o carbono está se movendo da superfície para o interior do aço.
Como estamos lidando com um meio semi-infinito (ou seja, o aço é tão grande que não precisamos nos preocupar com os limites opostos), usamos a solução de erro da equação de difusão para determinar a concentração de carbono em uma determinada profundidade e tempo.

Passo 3

A equação que descreve a concentração de carbono C(x,t) = Cs + (C0 - Cs) cdot erf(x2raizDt) em uma profundidade e tempo é dada por:
Onde:
  • é a concentração superficial de carbono após a carbonetação (1,2% p).
  • é a concentração inicial de carbono (0,25% p).
  • é o coeficiente de difusão do carbono no ferro ( ).
  • é a função erro.
  • é a profundidade (0,5 mm = 0,0005 m).

Passo 4

Queremos encontrar o tempo 0,8 = 1,2 + (0,25 - 1,2) cdot erf(0,00052raiz1,6 times 10^-11 cdot t) para que a concentração 0,8 - 1,2 = (0,25 - 1,2) cdot erf(0,00052raiz1,6 times 10^-11 cdot t) seja 0,8% p. Vamos reorganizar a equação para resolver -0,4 = -0,95 cdot erf(0,00052raiz1,6 times 10^-11 cdot t) :
-0,4-0,95 = erf(0,00052raiz1,6 times 10^-11 cdot t)
Primeiro, simplificamos a equação:
0,4211 = erf(0,00052raiz1,6 times 10^-11 cdot t)
Dividindo ambos os lados por -0,95:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o argumento da função erro que nos dá 0,4211. Para isso, usamos a função inversa da erro:
erf^-1(0,4211) = 0,00052raiz1,6 times 10^-11 cdot t
Calculando 0,3925 = 0,00052raiz1,6 times 10^-11 cdot t , que aproximadamente é 0,3925.
2raiz1,6 times 10^-11 cdot t = 0,00050,3925
Agora, resolvemos para raiz1,6 times 10^-11 cdot t = 0,00052 times 0,3925 approx 0,00050,785 approx 0,0006369 , m :
1,6 times 10^-11 cdot t = (0,0006369)^2 approx 4,059 times 10^-7 , m^2
t = 4,059 times 10^-71,6 times 10^-11 approx 2,5375 times 10^4 , s
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Resolvendo para :

Resposta

O tempo necessário para atingir um teor de carbono de 0,8% p a 0,5 mm abaixo da superfície é aproximadamente 2,54 × 10⁴ segundos, o que equivale a cerca de 7,05 horas.

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