Para algumas aplicações, torna-se necessário endurecer a superfície de um aço (ou de uma liga ferro carbono) a níveis superiores aos que existem no seu interior. Uma das maneiras de se conseguir isso é através do aumento da concentração de carbono na superfície do material, através do processo denominado carbonetação. A peça de aço é exposta, sob uma temperatura elevada, a uma atmosfera rica em um hidrocarboneto gasoso, tal como o metano
.
Considere uma dessas ligas contendo uma concentração inicial uniforme de carbono de 0,25 %p e que deve ser tratada a
. Se a concentração de carbono na superfície for repentinamente elevada e mantida em 1,2 %p, quanto tempo será necessário para atingir um teor de carbono de
p em uma posição localizada
abaixo da superfície? O coeficiente de difusão para o carbono no ferro sob essa temperatura é de
; considere a peça de aço como semi-infinita.
Considere uma dessas ligas contendo uma concentração inicial uniforme de carbono de 0,25 %p e que deve ser tratada a
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma peça de aço com uma concentração inicial de carbono de 0,25% p. Queremos aumentar a concentração de carbono na superfície para 1,2% p usando o processo de carbonetação a uma temperatura de 950°C. O objetivo é descobrir quanto tempo leva para que, a 0,5 mm abaixo da superfície, a concentração de carbono atinja 0,8% p. Para resolver isso, vamos usar difusão de carbono no ferro e a equação de difusão para meios semi-infinitos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a difusão. É o processo pelo qual átomos ou moléculas se movem de áreas de maior concentração para áreas de menor concentração. No nosso caso, o carbono está se movendo da superfície para o interior do aço.
Como estamos lidando com um meio semi-infinito (ou seja, o aço é tão grande que não precisamos nos preocupar com os limites opostos), usamos a solução de erro da equação de difusão para determinar a concentração de carbono em uma determinada profundidade e tempo.
Passo 3
A equação que descreve a concentração de carbono
em uma profundidade
e tempo
é dada por:
Onde:
-
é a concentração superficial de carbono após a carbonetação (1,2% p). -
é a concentração inicial de carbono (0,25% p). -
é o coeficiente de difusão do carbono no ferro ( ). -
é a função erro. -
é a profundidade (0,5 mm = 0,0005 m).
Passo 4
Queremos encontrar o tempo
para que a concentração
seja 0,8% p. Vamos reorganizar a equação para resolver
:
Primeiro, simplificamos a equação:
Dividindo ambos os lados por -0,95:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o argumento da função erro que nos dá 0,4211. Para isso, usamos a função inversa da erro:
Calculando
, que aproximadamente é 0,3925.
Agora, resolvemos para
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Resolvendo para
:
Resposta
O tempo necessário para atingir um teor de carbono de 0,8% p a 0,5 mm abaixo da superfície é aproximadamente 2,54 × 10⁴ segundos, o que equivale a cerca de 7,05 horas.