Calcule o fator de empacotamento atômico para as estruturas cúbica de corpo centrado, cúbica de faces centradas e para a hexagonal compacta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fator de empacotamento atômico (FEA) para três estruturas cristalinas: cúbica de corpo centrado (BCC), cúbica de faces centradas (FCC) e hexagonal compacta (HCP). O FEA nos ajuda a entender quão bem os átomos estão arrumados em uma estrutura, ou seja, quanto do espaço disponível está realmente ocupado pelos átomos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o fator de empacotamento atômico (FEA). O FEA é a razão entre o volume ocupado pelos átomos na célula unitária e o volume total da célula unitária. Matemáticamente, é dado por:
FEA = Volume total dos átomos na célulaVolume da célula unitária áééá

Passo 3

Vamos começar com a cúbica de corpo centrado (BCC). Nessa estrutura, há um átomo em cada canto do cubo e um átomo no centro. Cada átomo de canto é compartilhado por 8 cubos, então, efetivamente, temos a = 4rraiz3 átomos por célula unitária.
A relação entre o raio do átomo Vátomo = 43pi r^3 e a aresta do cubo 2 times 43pi r^3 = 83pi r^3 na BCC é:
a^3 = (4rraiz3)^3 = 64r^33raiz3
O volume de um átomo é:
FEABCC = 83pi r^364r^33raiz3 = pi raiz38 approx 0,68 ou 68% á
Então, o volume total dos átomos na célula unitária é:
E o volume da célula unitária é:
Finalmente, o FEA para BCC é:

Passo 4

Agora, vamos para a cúbica de faces centradas (FCC). Nessa estrutura, há átomos em cada canto e também um átomo no centro de cada face do cubo. Cada átomo de canto é compartilhado por 8 cubos e cada átomo de face é compartilhado por 2 cubos. Então, temos:
8 times 18 + 6 times 12 = 1 + 3 = 4 átomos por célula unitária áéá
A relação entre o raio do átomo a = 2raiz2r1 = 2raiz2r e a aresta do cubo 4 times 43pi r^3 = 163pi r^3 na FCC é:
a^3 = (2raiz2r)^3 = 16raiz2r^3
O volume total dos átomos na célula unitária é:
FEAFCC = 163pi r^316raiz2r^3 = pi3raiz2 approx 0,74 ou 74%
E o volume da célula unitária é:
Então, o FEA para FCC é:

Passo 5

Por último, vamos calcular o FEA para a hexagonal compacta (HCP). A estrutura HCP possui duas hexágonos empilhados com um total de 6 átomos por célula unitária (assim como na FCC). A relação entre o raio do átomo FEAHCP = pi3raiz2 approx 0,74 ou 74% e as dimensões da célula unitária na HCP envolve um pouco mais de geometria, mas o resultado do FEA para a HCP é o mesmo que para a FCC:

Resposta

  • BCC:
  • FCC:
  • HCP:

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