Calcule o fator de empacotamento atômico para as estruturas cúbica de corpo centrado, cúbica de faces centradas e para a hexagonal compacta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fator de empacotamento atômico (FEA) para três estruturas cristalinas: cúbica de corpo centrado (BCC), cúbica de faces centradas (FCC) e hexagonal compacta (HCP). O FEA nos ajuda a entender quão bem os átomos estão arrumados em uma estrutura, ou seja, quanto do espaço disponível está realmente ocupado pelos átomos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o fator de empacotamento atômico (FEA). O FEA é a razão entre o volume ocupado pelos átomos na célula unitária e o volume total da célula unitária. Matemáticamente, é dado por:
Passo 3
Vamos começar com a cúbica de corpo centrado (BCC). Nessa estrutura, há um átomo em cada canto do cubo e um átomo no centro. Cada átomo de canto é compartilhado por 8 cubos, então, efetivamente, temos
átomos por célula unitária.
A relação entre o raio do átomo
e a aresta do cubo
na BCC é:
O volume de um átomo é:
Então, o volume total dos átomos na célula unitária é:
E o volume da célula unitária é:
Finalmente, o FEA para BCC é:
Passo 4
Agora, vamos para a cúbica de faces centradas (FCC). Nessa estrutura, há átomos em cada canto e também um átomo no centro de cada face do cubo. Cada átomo de canto é compartilhado por 8 cubos e cada átomo de face é compartilhado por 2 cubos. Então, temos:
A relação entre o raio do átomo
e a aresta do cubo
na FCC é:
O volume total dos átomos na célula unitária é:
E o volume da célula unitária é:
Então, o FEA para FCC é:
Passo 5
Por último, vamos calcular o FEA para a hexagonal compacta (HCP). A estrutura HCP possui duas hexágonos empilhados com um total de 6 átomos por célula unitária (assim como na FCC). A relação entre o raio do átomo
e as dimensões da célula unitária na HCP envolve um pouco mais de geometria, mas o resultado do FEA para a HCP é o mesmo que para a FCC:
Resposta
- BCC:
- FCC:
- HCP: