Algumas empresas monitoram a qualidade usando um método de amostragem de aceitação, onde um lote inteiro de itens é rejeitado se uma amostra aleatória de determinado tamanho inclui mais que um número especificado de defeituosos. A Companhia de Máquinas Dayton compra parafusos em lotes de 5000 e rejeita um lote se dois ou mais parafusos defeituosos são encontrados quando 50 deles são selecionados. Estime a probabilidade de se rejeitar um lote se o fornecedor está produzindo os parafusos com uma taxa de defeito de 10 %.
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A Air América está considerando uma nova política de reservas que permite a reserva de 400 pessoas para um vôo que tem apenas 350 assentos. (Estudos passados revelaram que apenas 85 % das pessoas com reserva se apresentam para o vôo.) Estime a probabilidade de não haver assentos suficientes, caso a companhia faça 400 reservas. Essa probabilidade é baixa o suficiente para ser viável, ou a política de reservas deve ser alterada?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema. A Companhia de Máquinas Dayton compra parafusos em lotes de 5000 unidades. Eles fazem uma amostra de 50 parafusos e rejeitam o lote se encontrarem 2 ou mais defeituosos. A taxa de defeito dos parafusos é de 10%. Nosso objetivo é estimar a probabilidade de rejeitar um lote com essa taxa de defeito. Vamos precisar usar a distribuição binomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os parâmetros da distribuição binomial. Aqui, o número de tentativas é igual a 50 (tamanho da amostra), a probabilidade de sucesso é a taxa de defeito, que é 0,10, e queremos encontrar a probabilidade de obter defeituosos, onde é 2 ou mais.

Passo 3

A fórmula da distribuição binomial é:
P(k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • é o coeficiente binomial,
  • é a probabilidade de ter exatamente defeituosos,
  • é a probabilidade de ter não defeituosos.

Passo 4

Como queremos a probabilidade de rejeitar o lote, que ocorre quando há 2 ou mais defeituosos, vamos calcular P(k >= 2) = 1 - P(k < 2) = 1 - [P(0) + P(1)] . Podemos fazer isso calculando 1 menos a probabilidade de ter menos de 2 defeituosos ( ):

Passo 5

Calculando P(0) = binom500 (0,10)^0 (0,90)^50 = 1 times 1 times (0,90)^50 :
(0,90)^50 approx 0,0052
Calculando P(0) approx 0,0052 usando uma calculadora:
Então,

Passo 6

Calculando P(1) = binom501 (0,10)^1 (0,90)^49 = 50 times 0,10 times (0,90)^49 :
(0,90)^49 approx 0,0058
Calculando P(1) = 50 times 0,10 times 0,0058 approx 0,029 :
Então,

Passo 7

Agora, somamos P(k < 2) = P(0) + P(1) approx 0,0052 + 0,029 = 0,0342 e :

Passo 8

Finalmente, calculamos P(k >= 2) = 1 - P(k < 2) = 1 - 0,0342 = 0,9658 :

Passo 9

Vamos analisar a situação da Air América. Eles querem reservar 400 reservas para um voo com apenas 350 assentos. Sabemos que 85% das pessoas que fazem reserva realmente aparecem. Nosso objetivo é estimar a probabilidade de mais de 350 pessoas aparecerem, ou seja, não haver assentos suficientes. Vamos precisar usar a distribuição binomial ou uma aproximação normal para resolver esse problema.

Passo 10

Primeiro, vamos definir os parâmetros. O número de reservas é 400, a probabilidade de uma pessoa não comparecer é 15% (já que 85% aparecem), então a probabilidade de uma pessoa comparecer é 0,85. Queremos saber a probabilidade de mais de 350 pessoas aparecerem.

Passo 11

Podemos modelar o número de pessoas que aparecem como uma variável aleatória X sim B(n=400, p=0,85) que segue uma distribuição binomial:
No entanto, como é grande, podemos usar a aproximação normal para simplificar os cálculos.

Passo 12

Para a distribuição normal, precisamos calcular a média mu = n times p = 400 times 0,85 = 340 e o desvio padrão sigma = raizn times p times (1 - p) = raiz400 times 0,85 times 0,15 approx raiz51 approx 7,14 :

Passo 13

Queremos encontrar P(X > 350) = P(X >= 351) . Primeiro, ajustamos para a continuidade:
Z = 351 - musigma = 351 - 3407,14 approx 1,54
Convertendo para a distribuição normal:

Passo 14

Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos P(Z > 1,54) = 1 - 0,938 = 0,062 . Sabemos que , então:
Ou seja, aproximadamente 6,2% de chance de mais de 350 pessoas aparecerem.

Passo 15

Agora, avaliamos se essa probabilidade é baixa o suficiente para a viabilidade da política de reservas. Geralmente, uma probabilidade de 6,2% pode ser considerada aceitável dependendo da flexibilidade da companhia em lidar com overbooking.

Resposta

A probabilidade de não haver assentos suficientes é de aproximadamente . Essa probabilidade pode ser considerada baixa o suficiente para viabilizar a política de reservas, mas a companhia deve avaliar se está disposta a aceitar esse nível de risco.

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