Qual deverá ser o tamanho de uma amostra retirada de uma população X sim N(200,350) para que P(|barX-200|<5)=0.95 ?
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Uma fábrica de peças especifica em sua embalagens que a proporção de defeitos é de 4 %. Um cliente dessa fábrica inspeciona uma amostra de 200 peças. Baseado nesses dados, qual a porcentagem de amostras em que o cliente espera encontrar uma proporção de defeitos maior que 5 % ?

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado nos fala que uma fábrica informa que 4% das peças que produz são defeituosas. Um cliente decide inspecionar uma amostra de 200 peças dessa fábrica. A pergunta é: qual a porcentagem de amostras em que o cliente espera encontrar mais de 5% de peças defeituosas?
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidade de amostragem e distribuição da proporção amostral. Vamos usar a aproximação normal porque o tamanho da amostra é grande.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Proporção de defeitos na população, (ou 4%)
  • Tamanho da amostra,
  • Queremos encontrar a probabilidade de que a proporção amostral, , seja maior que 0,05 (ou 5%)

Passo 3

A proporção amostral sigmap = raizp(1 - p)n segue uma distribuição aproximadamente normal quando o tamanho da amostra é grande. A média dessa distribuição é igual à proporção da população sigmap = raiz0,04 times (1 - 0,04)200 = raiz0,04 times 0,96200 = raiz0,0384200 = raiz0,000192 approx 0,01386 , e o desvio padrão é dado por:
Vamos calcular isso:

Passo 4

Agora, queremos encontrar a probabilidade de z = p - psigmap = 0,05 - 0,040,01386 approx 0,010,01386 approx 0,721 . Para isso, vamos calcular o valor z correspondente a :

Passo 5

Com o valor z calculado, precisamos encontrar a probabilidade de P(z > 0,721) approx 0,235 . Usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora, encontramos que:
Isso significa que há aproximadamente 23,5% das amostras que terão uma proporção de defeitos maior que 5%.

Resposta

O cliente espera encontrar mais de 5% de peças defeituosas em aproximadamente 23,5% das amostras de 200 peças.

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