Algumas pedras rolando aproximam-se da base de uma colina com uma velocidade de 12 m / s. A colina está inclinada em 36^circ acima do plano horizontal e possui coeficientes de atrito cinético e estático de 0,45 e 0,65 , respectivamente, com essas pedras.
b) Quando uma pedra alcança seu ponto mais alto, ela permanecerá ali ou deslizará colina abaixo? Se permanecer, mostre por quê. Se descer, ache sua aceleração no caminho de retorno.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos pedindo e identificar o conteúdo necessário para resolvê-la. Temos pedras que rolam com uma velocidade inicial de 12, m/s em direção à base de uma colina inclinada a 36^circ em relação ao horizontal. Os coeficientes de atrito cinético e estático entre as pedras e a colina são 0,45 e 0,65, respectivamente.
Para resolver a parte (b), precisamos determinar se, quando uma pedra atinge o ponto mais alto da sua trajetória, ela permanece parada ou começa a deslizar de volta pela colina. Se deslizar, devemos calcular sua aceleração ao descer. Para isso, vamos utilizar conceitos de física como força de atrito, componentes do peso na direção do plano inclinado e as leis de Newton para o movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando a pedra sobe na colina. À medida que a pedra sobe, ela perde energia cinética devido à ação da gravidade e do atrito. No ponto mais alto, sua velocidade é zero. A questão é saber se as forças atuantes são suficientes para manter a pedra parada ou se ela começa a deslizar de volta.
Vamos considerar as forças atuantes na pedra no ponto mais alto:
  1. Força peso ( P): age verticalmente para baixo e pode ser decomposta em duas componentes: paralela ( Pparal<=l) e perpendicular ( Pperp) ao plano inclinado.
  2. Força normal ( N): é perpendicular à superfície da colina e contrabalança a componente perpendicular do peso.
  3. Força de atrito estático ( festáticoá): impede que a pedra comece a se mover.

Passo 3

Vamos decompor a força peso nas componentes paralela e perpendicular ao plano inclinado. A decomposição é feita usando o ângulo de inclinação da colina ( theta = 36^circ).
Pparal<=l = mg sin theta
Pperp = mg cos theta
onde:
  • m é a massa da pedra,
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,8, m/s^2),
  • theta é o ângulo de inclinação.
A força normal ( N) é igual à componente perpendicular do peso:
N = Pperp = mg cos theta

Passo 4

A força de atrito estático máxima ( festáticomaxá) que pode agir na pedra é dada por:
festáticomax = mus N = mus mg cos theta á
Para que a pedra permaneça no ponto mais alto sem deslizar, a força de atrito estático deve ser igual ou maior que a componente paralela do peso:
festáticomax >= Pparal<=l á
mus mg cos theta >= mg sin theta
Podemos simplificar m e g de ambos os lados:
mus cos theta >= sin theta

Passo 5

Vamos substituir os valores conhecidos na inequação para verificar se a pedra permanece no ponto mais alto.
mus cos theta >= sin theta
0,65 cdot cos 36^circ >= sin 36^circ
Calculando os valores trigonométricos:
cos 36^circ approx 0,8090
sin 36^circ approx 0,5878
Substituindo:
0,65 times 0,8090 approx 0,5259
0,5259 >= 0,5878
Como 0,5259 < 0,5878, a inequação não é satisfeita.

Passo 6

Como a força de atrito estático máxima é menor que a componente paralela do peso, a pedra não consegue se manter parada no ponto mais alto e começará a deslizar de volta pela colina.
Agora, vamos calcular a aceleração da pedra ao descer. Para isso, consideramos o atrito cinético, já que a pedra está em movimento.
A força de atrito cinético ( fcinéticoé) �� dada por:
fcinético = muk N = muk mg cos theta é
A força resultante que causa a aceleração ( a) é a diferença entre a componente paralela do peso e a força de atrito cinético:
Fresué
Aplicando a segunda lei de Newton:
Fresu
mg sin theta - muk mg cos theta = m a
Simplificando m de ambos os lados:
g sin theta - muk g cos theta = a

Passo 7

Substituindo os valores conhecidos na equação para encontrar a aceleração:
a = g (sin theta - muk cos theta)
a = 9,8 times (sin 36^circ - 0,45 times cos 36^circ)
Calculando os valores trigonométricos:
sin 36^circ approx 0,5878
cos 36^circ approx 0,8090
Substituindo:
a = 9,8 times (0,5878 - 0,45 times 0,8090)
a = 9,8 times (0,5878 - 0,3641)
a = 9,8 times 0,2237
a approx 2,19, m/s^2

Resposta

A pedra deslizará de volta pela colina com uma aceleração de aproximadamente 2,19, m/s^2.

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