Algumas vezes é possível resolver uma equação Não Linear, fazendo uma mudança de variável dependente que a transforma em uma equação Linear. O exemplo mais importante de tal equação é da forma:
E é chamada Equação de Bernoulli em honra a Jakob Bernoulli. As equações abaixo, tratam de questões deste tipo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial não linear chamada Equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
No nosso caso, a equação é:
Então, vamos precisar entender como resolver esse tipo de equação usando uma mudança de variável para transformá-la em linear. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação de Bernoulli:
A ideia é fazer uma substituição que simplifica a equação. Para isso, usamos:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Rearranjando para expressar
:
Passo 4
Substituímos
na equação original:
Como
, podemos reescrever
. Então, substituindo:
Passo 5
Vamos dividir toda a equação por
(assumindo
):
Agora, a equação está na forma linear:
onde:
Passo 6
Para resolver essa equação linear, precisamos achar o fator integrante
:
Passo 7
Multiplicamos a equação toda pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
Vamos resolver a integral:
Então:
Passo 9
Dividimos ambos os lados por
:
Lembrando que
, então:
Passo 10
Elevamos ambos os lados ao quadrado para resolver para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
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Calcule
de modo que as funções abaixo sejam contínuas:
Calcule
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Determine
se: