Algumas vezes é possível resolver uma equação Não Linear, fazendo uma mudança de variável dependente que a transforma em uma equação Linear. O exemplo mais importante de tal equação é da forma:
y' + P(x) y = Q(x) y^n
E é chamada Equação de Bernoulli em honra a Jakob Bernoulli. As equações abaixo, tratam de questões deste tipo.
d/dx y + y/(x-2) = 5(x-2) y^(1/2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial não linear chamada Equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
No nosso caso, a equação é:
Então, vamos precisar entender como resolver esse tipo de equação usando uma mudança de variável para transformá-la em linear. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação de Bernoulli:
A ideia é fazer uma substituição que simplifica a equação. Para isso, usamos:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a :
Rearranjando para expressar :

Passo 4

Substituímos na equação original:
Como , podemos reescrever . Então, substituindo:

Passo 5

Vamos dividir toda a equação por (assumindo ):
Agora, a equação está na forma linear:
onde:

Passo 6

Para resolver essa equação linear, precisamos achar o fator integrante :

Passo 7

Multiplicamos a equação toda pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a :
Vamos resolver a integral:
Então:

Passo 9

Dividimos ambos os lados por :
Lembrando que , então:

Passo 10

Elevamos ambos os lados ao quadrado para resolver para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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