Calcule p de modo que as funções abaixo sejam contínuas:
f(x) = { x + 2p, se x <= -1; p^2, se x > -1 }

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida por partes e precisa descobrir o valor de para que essa função seja contínua. Isso envolve conceitos de continuidade de funções e como igualar os limites pela esquerda e pela direita no ponto onde a função muda de definição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função pode não ser contínua. No caso, isso acontece no ponto porque a definição da função muda ali. Para garantir a continuidade, o limite da função quando se aproxima de pela esquerda tem que ser igual ao limite quando se aproxima de pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em .

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando se aproxima de pela esquerda ( ). A função nessa região é . Substituindo :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela direita, quando se aproxima de pela direita ( ). Nessa região, a função é constante: . Então:

Passo 5

Para a função ser contínua em , os dois limites que calculamos devem ser iguais e também iguais ao valor da função naquele ponto. Ou seja:

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação . Isso pode ser fatorado como:

Passo 7

Resolvendo a equação, temos:

Resposta

O valor de que torna a função contínua é .

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