Calcule
de modo que as funções abaixo sejam contínuas:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida por partes e precisa descobrir o valor de
para que essa função seja contínua. Isso envolve conceitos de continuidade de funções e como igualar os limites pela esquerda e pela direita no ponto onde a função muda de definição.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função pode não ser contínua. No caso, isso acontece no ponto
porque a definição da função muda ali. Para garantir a continuidade, o limite da função quando
se aproxima de
pela esquerda tem que ser igual ao limite quando
se aproxima de
pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em
.
Passo 3
Vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando
se aproxima de
pela esquerda (
). A função nessa região é
. Substituindo
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite pela direita, quando
se aproxima de
pela direita (
). Nessa região, a função é constante:
. Então:
Passo 5
Para a função ser contínua em
, os dois limites que calculamos devem ser iguais e também iguais ao valor da função naquele ponto. Ou seja:
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação
. Isso pode ser fatorado como:
Passo 7
Resolvendo a equação, temos:
Resposta
O valor de
que torna a função contínua é
.