Calcule
de modo que as funções abaixo sejam contínuas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de
para que a função
seja contínua. Isso envolve entender o conceito de continuidade de funções, que basicamente significa que não tem “saltos” ou “buracos” no gráfico da função. Para isso, vamos precisar calcular o limite da função quando
se aproxima de 2 e igualar esse limite a
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função que a gente tem:
Queremos que a função seja contínua em
. Para isso, o limite de
conforme
se aproxima de 2 deve ser igual a
.
Passo 3
Vamos calcular o limite:
Para resolver esse limite, podemos fazer uma substituição para simplificar. Vamos deixar
, então
. Quando
se aproxima de 2,
se aproxima de
.
Passo 4
Substituindo na expressão do limite:
Agora, percebemos que temos uma divisão com uma forma indeterminada
. Para resolver isso, podemos fatorar o numerador.
Passo 5
Vamos fatorar
. Sabemos que:
Agora, substituímos de volta no limite:
Passo 6
Cancelamos o termo
no numerador e denominador:
Agora, basta substituir
:
Passo 7
Sabemos que
, então:
Portanto, o limite é
.
Resposta
O valor de
que torna a função
contínua é
.