Calcule p de modo que as funções abaixo sejam contínuas:
f(x) = { (x - 4) / raiz_cubica(x) - raiz_cubica(2), se x ≠ 2; p, se x = 2 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de para que a função seja contínua. Isso envolve entender o conceito de continuidade de funções, que basicamente significa que não tem “saltos” ou “buracos” no gráfico da função. Para isso, vamos precisar calcular o limite da função quando se aproxima de 2 e igualar esse limite a .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função que a gente tem:
Queremos que a função seja contínua em . Para isso, o limite de conforme se aproxima de 2 deve ser igual a .

Passo 3

Vamos calcular o limite:
Para resolver esse limite, podemos fazer uma substituição para simplificar. Vamos deixar , então . Quando se aproxima de 2, se aproxima de .

Passo 4

Substituindo na expressão do limite:
Agora, percebemos que temos uma divisão com uma forma indeterminada . Para resolver isso, podemos fatorar o numerador.

Passo 5

Vamos fatorar . Sabemos que:
Agora, substituímos de volta no limite:

Passo 6

Cancelamos o termo no numerador e denominador:
Agora, basta substituir :

Passo 7

Sabemos que , então:
Portanto, o limite é .

Resposta

O valor de que torna a função contínua é .

Exercícios relacionados