Alguns caminhões utilizam a energia armazenada em um volante que um motor elétrico acelera até uma velocidade de 200π rad/s. Um desses volantes é um cilindro uniforme com uma massa de 500 kg e um raio de 1,0 m. Qual é a energia cinética do volante quando está girando com a velocidade máxima? Se o caminhão consome uma potência média de 8,0 kW, por quantos minutos pode operar sem que o volante seja novamente carregado?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um caminhão que usa a energia armazenada em um volante de inércia (um tipo de eixo giratório). O volante é um cilindro uniforme com massa de 500 kg e raio de 1,0 m, que é acelerado até uma velocidade angular de 200pi rad/s. Precisamos descobrir duas coisas:
  1. Energia cinética do volante quando está girando na velocidade máxima.
  2. Tempo de operação do caminhão sem precisar recarregar o volante, considerando que ele consome uma potência média de 8,0 kW.
Para resolver isso, vamos precisar entender de energia cinética rotacional e potência.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia cinética rotacional do volante. A fórmula para a energia cinética rotacional ( Ecin) de um objeto em rotação é:
Ecin = 12 I omega^2
Onde:
  • I é o momento de inércia do objeto.
  • omega é a velocidade angular.
Como o volante é um cilindro uniforme girando em torno do seu eixo, o momento de inércia ( I) é dado por:
I = 12 m r^2
Vamos calcular I primeiro.
Substituindo os valores:
  • Massa ( m) = 500 kg
  • Raio ( r) = 1,0 m
I = 12 times 500 , kg times (1,0 , m)^2 = 12 times 500 times 1 = 250 , kgcdotm^2
Agora, vamos usar I para encontrar Ecin. A velocidade angular ( omega) é 200pi rad/s.
Ecin = 12 times 250 , kgcdotm^2 times (200pi , rad/s)^2
Calculando o quadrado de 200pi:
(200pi)^2 = 40,000pi^2 approx 40,000 times 9,8696 = 394,784
Então,
Ecin = 12 times 250 times 394,784 approx 125 times 394,784 = 49,348,000 , J

Passo 3

Agora, precisamos descobrir por quanto tempo o caminhão pode operar usando essa energia cinética sem recarregar o volante. Para isso, vamos relacionar energia e potência.
A potência ( P) é a taxa de uso de energia, dada por:
P = Et
Onde:
  • E é a energia.
  • t é o tempo.
Queremos encontrar o tempo ( t), então rearranjamos a fórmula:
t = EP
Sabemos que:
  • Energia disponível ( E) = 49,348,000 J
  • Potência do caminhão ( P) = 8,0 kW = 8,000 W
Substituindo os valores:
t = 49,348,000 , J8,000 , W = 6,168.5 , s

Passo 4

Agora, vamos converter o tempo de segundos para minutos, já que a questão pede em minutos.
Sabemos que 1 minuto = 60 segundos.
t = 6,168.5 , s60 , s/min approx 102.81 , min

Resposta

A energia cinética do volante é de aproximadamente 4,93 × 10⁷ joules. O caminhão pode operar por cerca de 103 minutos sem que o volante seja recarregado novamente.

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