Um bloco de massa m é lançado com velocidade horizontal v em um plano inclinado de ângulo θ em relação à horizontal. O bloco se move para cima do plano inclinado e para a esquerda até atingir uma altura máxima h acima do ponto de lançamento. Nesse ponto, a velocidade do bloco é completamente vertical, com módulo igual a v/2. Qual é o trabalho realizado pela força resultante sobre o bloco durante todo o movimento?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. Temos um bloco com massa $ m $ que é lançado com velocidade horizontal $ v $ num plano inclinado que faz um ângulo $ \theta $ com a horizontal. O bloco sobe pelo plano até atingir uma altura máxima $ h $ acima do ponto de lançamento. Nesse ponto, a velocidade do bloco é totalmente vertical e tem módulo igual a $ \frac{v}{2} $.
O que precisamos descobrir é qual foi o trabalho realizado pela força resultante sobre o bloco durante todo esse movimento.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de trabalho e energia na física, especialmente levando em conta as componentes de velocidade e as forças envolvidas no movimento no plano inclinado.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as velocidades inicial e final do bloco. Inicialmente, o bloco tem uma velocidade horizontal $ v $. Na altura máxima, a velocidade é totalmente vertical e vale $ \frac{v}{2} $.
Podemos usar o princípio da conservação de energia para relacionar essas velocidades com o trabalho realizado pelas forças.

Passo 3

A energia cinética inicial do bloco é dada por:
Ki = 12 m v^2
Na altura máxima, a energia cinética é:
Kf = 12 m (v2)^2 = 12 m v^24 = 18 m v^2

Passo 4

A variação da energia cinética é:
De
Isso significa que a energia do bloco diminuiu em $ \frac{3}{8} m v^2 $.

Passo 5

Além da energia cinética, o bloco também ganha energia potencial gravitacional ao alcançar a altura $ h $:
h
onde $ g $ é a aceleração da gravidade.

Passo 6

O trabalho total realizado pelas forças (resultado do trabalho da força resultante) é a soma da variação da energia cinética e da energia potencial:
W = De

Passo 7

Para encontrar $ h $, podemos usar a componente da velocidade na direção do plano inclinado. No ponto mais alto, a velocidade horizontal inicial foi desacelerada pela componente da gravidade no plano.
Usando trigonometria e leis do movimento, derivamos que:
h

Passo 8

Substituindo $ h $ na expressão do trabalho:
h

Resposta

O trabalho realizado pela força resultante sobre o bloco durante todo o movimento é $ W = -\frac{1}{4} m v^2 $.

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