Alocação Orçamental
Considere um problema de alocação orçamental, onde 30 milhões de reais estão disponíveis para o conjunto de projetos listados abaixo. O investimento necessário em cada projeto, juntamente com o retorno esperado em termos de utilidade também é dada.
Considere um problema de alocação orçamental, onde 30 milhões de reais estão disponíveis para o conjunto de projetos listados abaixo. O investimento necessário em cada projeto, juntamente com o retorno esperado em termos de utilidade também é dada.
Projeto | Custo (milhões reais) | Utilidade esperada |
---|---|---|
Apoio tempos livres | 6 | 18 |
Segurança rodoviária | 18 | 16 |
Redução da criminalidade | 10 | 12 |
Extensão rodoviária | 9 | 25 |
Apoio Social | 4 | 14 |
a) O problema consiste em definir os projetos que devem ser financiados, de forma a maximizar a utilidade total esperado sem exceder as limitações orçamentais.
b) Agora, suponha que novas condições de seleção dos projetos. Escreva as restrições para essas condições:
i. Quaisquer dois dos quatro primeiros projetos devem ser realizados.
ii. Os projetos 1 e 3 devem ser efetuados simultaneamente, ou nenhum deles deve ser realizado.
iii. O projeto 2 será realizada apenas se o projeto 4 for realizada mas o projeto 4 não está condicionado à realização do projeto 2 (ou seja, pode realizar-se o projeto de 4 sem projeto 2 , mas não se pode realizar o projeto de 2 sem que projeto 4 seja realizado).
iv. Os projetos 1 e 5 NÃO poderão ser executados simultaneamente.
b) Agora, suponha que novas condições de seleção dos projetos. Escreva as restrições para essas condições:
i. Quaisquer dois dos quatro primeiros projetos devem ser realizados.
ii. Os projetos 1 e 3 devem ser efetuados simultaneamente, ou nenhum deles deve ser realizado.
iii. O projeto 2 será realizada apenas se o projeto 4 for realizada mas o projeto 4 não está condicionado à realização do projeto 2 (ou seja, pode realizar-se o projeto de 4 sem projeto 2 , mas não se pode realizar o projeto de 2 sem que projeto 4 seja realizado).
iv. Os projetos 1 e 5 NÃO poderão ser executados simultaneamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Alocação Orçamental juntos! A ideia aqui é decidir quais projetos financiar com um orçamento de 30 milhões de reais para maximizar a utilidade total esperada. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Programação Linear, onde definimos variáveis para representar cada projeto, uma função objetivo para maximizar a utilidade e restrições para não ultrapassar o orçamento.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma variável para cada projeto que indica se ele será financiado ou não. Podemos usar variáveis binárias, onde:
-
= 1 se o projeto “Apoio tempos livres” for financiado, 0 caso contrário. -
= 1 se o projeto “Segurança rodoviária” for financiado, 0 caso contrário. -
= 1 se o projeto “Redução da criminalidade” for financiado, 0 caso contrário. -
= 1 se o projeto “Extensão rodoviária” for financiado, 0 caso contrário. -
= 1 se o projeto “Apoio Social” for financiado, 0 caso contrário.
Passo 3
Agora, vamos montar a função objetivo, que é o que queremos maximizar. Nesse caso, queremos maximizar a utilidade total esperada dos projetos financiados. Então, a função objetivo será:
Aqui, cada coeficiente representa a utilidade esperada de cada projeto.
Passo 4
Em seguida, precisamos considerar a restrição orçamentária para garantir que não gastaremos mais do que os 30 milhões de reais disponíveis. A restrição fica assim:
Cada termo representa o custo de cada projeto multiplicado pela sua variável correspondente.
Passo 5
Além da restrição orçamentária, nossas variáveis são binárias, então temos:
Isso significa que cada projeto ou é financiado (1) ou não é financiado (0).
Passo 6
Agora, para a parte b) do exercício, precisamos adicionar novas restrições com base nas condições de seleção dos projetos.
Passo 7
Vamos detalhar cada condição:
i. Quaisquer dois dos quatro primeiros projetos devem ser realizados.
Isso significa que pelo menos dois dos projetos 1, 2, 3 ou 4 devem ser financiados. A restrição fica:
ii. Os projetos 1 e 3 devem ser efetuados simultaneamente, ou nenhum deles deve ser realizado.
Isso é uma condição de implicação mútua. Podemos representar isso com duas inequações:
Ou, alternativamente:
iii. O projeto 2 será realizado apenas se o projeto 4 for realizado, mas o projeto 4 pode ser realizado sem o projeto 2.
Isso é uma condição de implicação simples. Se
, então
. A restrição fica:
iv. Os projetos 1 e 5 NÃO poderão ser executados simultaneamente.
Isso significa que não podemos ter ambos os projetos 1 e 5 financiados ao mesmo tempo. A restrição fica:
Passo 8
Agora, juntando tudo, nosso modelo de Programação Linear com as novas restrições fica assim:
Resposta
Seguindo esse modelo, você pode usar técnicas de Programação Linear para determinar quais projetos financiar e maximizar a utilidade total dentro do orçamento disponível.
Exercícios relacionados
Seleção de Fonte de Suprimentos
Uma empresa de manufatura após congelado seu plano mestre mensal, recebeu uma encomenda para produzir e entregar um determinado produto que serve de matéria prima a dois clientes considerados estratégicos, dessa forma mesmo congelado o plano de mestre a empresa decidiu atender os pedidos com a capacidade remanescente de suas três fábricas. Desenvolva um programa de produção, dados os custos de produção unitário e de transporte de cada fábrica para o respectivo cliente.
Uma empresa de manufatura após congelado seu plano mestre mensal, recebeu uma encomenda para produzir e entregar um determinado produto que serve de matéria prima a dois clientes considerados estratégicos, dessa forma mesmo congelado o plano de mestre a empresa decidiu atender os pedidos com a capacidade remanescente de suas três fábricas. Desenvolva um programa de produção, dados os custos de produção unitário e de transporte de cada fábrica para o respectivo cliente.
Custo Unit Fabricação | Capacidade Disponível (kg) | |||
---|---|---|---|---|
FABRICA 1 | R$ | 12,00 | 6000 | |
FABRICA 2 | R$ | 10,50 | 4000 | |
FABRICA 3 | R
|
13,50 | 10000 | |
Custos de Transporte | ||||
:— | :— | :— | :— | —: |
CLIENTE 1 | CLIENTE 2 | |||
FABRICA 1 | R
|
2,50 | R | 2,00 |
FABRICA 2 | R
|
3,50 | R | 3,00 |
FABRICA 3 | R
|
2,75 | R
|
1,75 |
DEMANDA (Kg) | ||||
:— | :—: | |||
CLIENTE 1 | 10000 | |||
CLIENTE 2 | 8000 |
Considere a série
para resolver os itens abaixo.
© Ache uma fórmula para a sequência das somas parciais .
© Ache uma fórmula para a sequência das somas parciais
Determine se a série dada converge ou diverge:
(a) ;
(a)
Corte de Chapas
Um revendedor de chapas e perfis metálicos recebe da usina siderúrgica determinado tipo de chapa em rolos padronizados de 0,80 m e 1,50 m de largura. Os clientes compram na largura que necessitam e o revendedor corta as chapas conforme o pedido.
Para a próxima semana, recebeu três pedidos com as seguintes especificações:
Um revendedor de chapas e perfis metálicos recebe da usina siderúrgica determinado tipo de chapa em rolos padronizados de 0,80 m e 1,50 m de largura. Os clientes compram na largura que necessitam e o revendedor corta as chapas conforme o pedido.
Para a próxima semana, recebeu três pedidos com as seguintes especificações:
PEDIDO | LARGURA (m) | COMPRIMENTO (m) |
---|---|---|
1 | 0,40 | 10 |
2 | 0,60 | 30 |
3 | 0,70 | 20 |
O problema do revendedor é programar o corte das chapas originais de modo a atender aos três pedidos, com o mínimo desperdício de aparas e sobras na largura das chapas. As dimensões de comprimento não criam grandes inconvenientes, porque as chapas podem ser emendadas para outras aplicações.