Considere a série
para resolver os itens abaixo.
© Ache uma fórmula para a sequência das somas parciais
.
© Ache uma fórmula para a sequência das somas parciais
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma fórmula para a sequência das somas parciais
da série
. A matéria aqui envolve séries infinitas e somas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar termos de uma série e manipular fórmulas de progressões geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a soma parcial
da série até o termo
:
Podemos separar essa soma em duas partes para facilitar:
Agora, vamos resolver cada uma dessas somas separadamente.
Passo 3
Vamos resolver a primeira soma:
Essa é uma progressão geométrica com razão
. A soma de uma PG é dada por:
Substituindo
:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos resolver a segunda soma:
Para essa soma, usamos a fórmula da soma de uma série aritmética geométrica:
Substituindo
:
Portanto:
Passo 5
Agora, juntamos as duas somas que resolvemos:
Vamos simplificar:
Podemos fatorar
:
Simplificando:
Resposta
A fórmula para a sequência das somas parciais é:
Exercícios relacionados
Problema de Designação
Uma empresa está envolvida em um esforço para a abertura de quatro escritórios regionais de vendas, nas cidades de Salvador, Recife, Caxias do Sul e Florianópolis.
Dentre seus funcionários, há três coordenadores de vendas (Matos, Pereira e Bernardes) que estão aptos a assumir qualquer um dos novos escritórios. Entretanto, os custos de realocação são diferentes, dependendo do par coordenador/escritório, segundo a matriz a seguir, estabelecido em reais ):
Uma empresa está envolvida em um esforço para a abertura de quatro escritórios regionais de vendas, nas cidades de Salvador, Recife, Caxias do Sul e Florianópolis.
Dentre seus funcionários, há três coordenadores de vendas (Matos, Pereira e Bernardes) que estão aptos a assumir qualquer um dos novos escritórios. Entretanto, os custos de realocação são diferentes, dependendo do par coordenador/escritório, segundo a matriz a seguir, estabelecido em reais
Salvador | Recife | Caxias do Sul | Florianópolis | |
---|---|---|---|---|
Matos | 4.000 | 5.500 | 6.000 | 5.000 |
Pereira | 2.500 | 8.000 | 6.500 | 4.000 |
Bernardes | 2.500 | 5.000 | 11.500 | 7.000 |
Assumindo que a empresa deseja minimizar os custos de preenchimento dos cargos. Formular o modelo de programação linear que decida sobre a distribuição de coordenadores pelos escritórios regionais.
Problema de Fluxo Máximo de Transporte com Rotas Limitadas
Uma companhia exportadora de café dispõe de estoques em quatro portos brasileiros, conforme tabela abaixo:
Uma companhia exportadora de café dispõe de estoques em quatro portos brasileiros, conforme tabela abaixo:
PORTO | QTD
|
---|---|
Paranaguá | 120 |
Santos | 100 |
Rio de Janeiro | 100 |
Vitória | 100 |
Em virtude dos contratos de fornecimento já assinados, a companhia precisa transferir, dentro de um mês, para seus quatro armazéns no exterior, determinadas quantidades, como mostra a tabela abaixo:
PORTO | QTD
|
---|---|
Nova York | 100 |
Hamburgo | 80 |
Le Havre | 90 |
Bordeaux | 150 |
Como informação adicional, sabe-se que as demandas de Hamburgo e Bordeaux devem ser plenamente atendidas.
No próximo mês, as partidas de navios dos diversos portos brasileiros para os portos de destino são indicadas na tabela abaixo, assim como a capacidade de carga ainda disponível em cada navio. A quantidade zero indica que não há navio ou, mesmo havendo, não há capacidade livre para transportar café.
No próximo mês, as partidas de navios dos diversos portos brasileiros para os portos de destino são indicadas na tabela abaixo, assim como a capacidade de carga ainda disponível em cada navio. A quantidade zero indica que não há navio ou, mesmo havendo, não há capacidade livre para transportar café.
Destino | Nova York | Hamburgo | Le Havre | Bordeaux |
---|---|---|---|---|
Paranaguá | 70 | 30 | 20 | 0 |
Santos | 50 | 40 | 10 | 0 |
Rio de Janeiro | 0 | 20 | 40 | 80 |
Vitória | 0 | 20 | 40 | 80 |
Dadas essas informações, o objetivo da companhia é determinar quanto deverá despachar em cada navio, de modo a satisfazer suas demandas ao máximo. Construa o modelo de Programação Linear que otimize este problema.
Seleção de Fonte de Suprimentos
Uma empresa de manufatura após congelado seu plano mestre mensal, recebeu uma encomenda para produzir e entregar um determinado produto que serve de matéria prima a dois clientes considerados estratégicos, dessa forma mesmo congelado o plano de mestre a empresa decidiu atender os pedidos com a capacidade remanescente de suas três fábricas. Desenvolva um programa de produção, dados os custos de produção unitário e de transporte de cada fábrica para o respectivo cliente.
Uma empresa de manufatura após congelado seu plano mestre mensal, recebeu uma encomenda para produzir e entregar um determinado produto que serve de matéria prima a dois clientes considerados estratégicos, dessa forma mesmo congelado o plano de mestre a empresa decidiu atender os pedidos com a capacidade remanescente de suas três fábricas. Desenvolva um programa de produção, dados os custos de produção unitário e de transporte de cada fábrica para o respectivo cliente.
Custo Unit Fabricação | Capacidade Disponível (kg) | |||
---|---|---|---|---|
FABRICA 1 | R$ | 12,00 | 6000 | |
FABRICA 2 | R$ | 10,50 | 4000 | |
FABRICA 3 | R
|
13,50 | 10000 | |
Custos de Transporte | ||||
:— | :— | :— | :— | —: |
CLIENTE 1 | CLIENTE 2 | |||
FABRICA 1 | R
|
2,50 | R | 2,00 |
FABRICA 2 | R
|
3,50 | R | 3,00 |
FABRICA 3 | R
|
2,75 | R
|
1,75 |
DEMANDA (Kg) | ||||
:— | :—: | |||
CLIENTE 1 | 10000 | |||
CLIENTE 2 | 8000 |
Alocação Orçamental
Considere um problema de alocação orçamental, onde 30 milhões de reais estão disponíveis para o conjunto de projetos listados abaixo. O investimento necessário em cada projeto, juntamente com o retorno esperado em termos de utilidade também é dada.
Considere um problema de alocação orçamental, onde 30 milhões de reais estão disponíveis para o conjunto de projetos listados abaixo. O investimento necessário em cada projeto, juntamente com o retorno esperado em termos de utilidade também é dada.
Projeto | Custo (milhões reais) | Utilidade esperada |
---|---|---|
Apoio tempos livres | 6 | 18 |
Segurança rodoviária | 18 | 16 |
Redução da criminalidade | 10 | 12 |
Extensão rodoviária | 9 | 25 |
Apoio Social | 4 | 14 |
a) O problema consiste em definir os projetos que devem ser financiados, de forma a maximizar a utilidade total esperado sem exceder as limitações orçamentais.
b) Agora, suponha que novas condições de seleção dos projetos. Escreva as restrições para essas condições:
i. Quaisquer dois dos quatro primeiros projetos devem ser realizados.
ii. Os projetos 1 e 3 devem ser efetuados simultaneamente, ou nenhum deles deve ser realizado.
iii. O projeto 2 será realizada apenas se o projeto 4 for realizada mas o projeto 4 não está condicionado à realização do projeto 2 (ou seja, pode realizar-se o projeto de 4 sem projeto 2 , mas não se pode realizar o projeto de 2 sem que projeto 4 seja realizado).
iv. Os projetos 1 e 5 NÃO poderão ser executados simultaneamente.
b) Agora, suponha que novas condições de seleção dos projetos. Escreva as restrições para essas condições:
i. Quaisquer dois dos quatro primeiros projetos devem ser realizados.
ii. Os projetos 1 e 3 devem ser efetuados simultaneamente, ou nenhum deles deve ser realizado.
iii. O projeto 2 será realizada apenas se o projeto 4 for realizada mas o projeto 4 não está condicionado à realização do projeto 2 (ou seja, pode realizar-se o projeto de 4 sem projeto 2 , mas não se pode realizar o projeto de 2 sem que projeto 4 seja realizado).
iv. Os projetos 1 e 5 NÃO poderão ser executados simultaneamente.