Considere a série para resolver os itens abaixo.
© Ache uma fórmula para a sequência das somas parciais .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma fórmula para a sequência das somas parciais da série . A matéria aqui envolve séries infinitas e somas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar termos de uma série e manipular fórmulas de progressões geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a soma parcial da série até o termo :
Podemos separar essa soma em duas partes para facilitar:
Agora, vamos resolver cada uma dessas somas separadamente.

Passo 3

Vamos resolver a primeira soma:
Essa é uma progressão geométrica com razão . A soma de uma PG é dada por:
Substituindo :
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda soma:
Para essa soma, usamos a fórmula da soma de uma série aritmética geométrica:
Substituindo :
Portanto:

Passo 5

Agora, juntamos as duas somas que resolvemos:
Vamos simplificar:
Podemos fatorar :
Simplificando:

Resposta

A fórmula para a sequência das somas parciais é:

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Problema de Designação
Uma empresa está envolvida em um esforço para a abertura de quatro escritórios regionais de vendas, nas cidades de Salvador, Recife, Caxias do Sul e Florianópolis.
Dentre seus funcionários, há três coordenadores de vendas (Matos, Pereira e Bernardes) que estão aptos a assumir qualquer um dos novos escritórios. Entretanto, os custos de realocação são diferentes, dependendo do par coordenador/escritório, segundo a matriz a seguir, estabelecido em reais ):
Salvador Recife Caxias do Sul Florianópolis
Matos 4.000 5.500 6.000 5.000
Pereira 2.500 8.000 6.500 4.000
Bernardes 2.500 5.000 11.500 7.000
Assumindo que a empresa deseja minimizar os custos de preenchimento dos cargos. Formular o modelo de programação linear que decida sobre a distribuição de coordenadores pelos escritórios regionais.
Problema de Fluxo Máximo de Transporte com Rotas Limitadas
Uma companhia exportadora de café dispõe de estoques em quatro portos brasileiros, conforme tabela abaixo:
PORTO QTD
Paranaguá 120
Santos 100
Rio de Janeiro 100
Vitória 100
Em virtude dos contratos de fornecimento já assinados, a companhia precisa transferir, dentro de um mês, para seus quatro armazéns no exterior, determinadas quantidades, como mostra a tabela abaixo:
PORTO QTD
Nova York 100
Hamburgo 80
Le Havre 90
Bordeaux 150
Como informação adicional, sabe-se que as demandas de Hamburgo e Bordeaux devem ser plenamente atendidas.
No próximo mês, as partidas de navios dos diversos portos brasileiros para os portos de destino são indicadas na tabela abaixo, assim como a capacidade de carga ainda disponível em cada navio. A quantidade zero indica que não há navio ou, mesmo havendo, não há capacidade livre para transportar café.
Destino Nova York Hamburgo Le Havre Bordeaux
Paranaguá 70 30 20 0
Santos 50 40 10 0
Rio de Janeiro 0 20 40 80
Vitória 0 20 40 80
Dadas essas informações, o objetivo da companhia é determinar quanto deverá despachar em cada navio, de modo a satisfazer suas demandas ao máximo. Construa o modelo de Programação Linear que otimize este problema.
Seleção de Fonte de Suprimentos
Uma empresa de manufatura após congelado seu plano mestre mensal, recebeu uma encomenda para produzir e entregar um determinado produto que serve de matéria prima a dois clientes considerados estratégicos, dessa forma mesmo congelado o plano de mestre a empresa decidiu atender os pedidos com a capacidade remanescente de suas três fábricas. Desenvolva um programa de produção, dados os custos de produção unitário e de transporte de cada fábrica para o respectivo cliente.
Custo Unit Fabricação Capacidade Disponível (kg)
FABRICA 1 R$ 12,00 6000
FABRICA 2 R$ 10,50 4000
FABRICA 3 R 13,50 10000
Custos de Transporte
:— :— :— :— —:
CLIENTE 1 CLIENTE 2
FABRICA 1 R 2,50 R 2,00
FABRICA 2 R 3,50 R 3,00
FABRICA 3 R 2,75 R 1,75
DEMANDA (Kg)
:— :—:
CLIENTE 1 10000
CLIENTE 2 8000
Alocação Orçamental
Considere um problema de alocação orçamental, onde 30 milhões de reais estão disponíveis para o conjunto de projetos listados abaixo. O investimento necessário em cada projeto, juntamente com o retorno esperado em termos de utilidade também é dada.
Projeto Custo (milhões reais) Utilidade esperada
Apoio tempos livres 6 18
Segurança rodoviária 18 16
Redução da criminalidade 10 12
Extensão rodoviária 9 25
Apoio Social 4 14
a) O problema consiste em definir os projetos que devem ser financiados, de forma a maximizar a utilidade total esperado sem exceder as limitações orçamentais.
b) Agora, suponha que novas condições de seleção dos projetos. Escreva as restrições para essas condições:
i. Quaisquer dois dos quatro primeiros projetos devem ser realizados.
ii. Os projetos 1 e 3 devem ser efetuados simultaneamente, ou nenhum deles deve ser realizado.
iii. O projeto 2 será realizada apenas se o projeto 4 for realizada mas o projeto 4 não está condicionado à realização do projeto 2 (ou seja, pode realizar-se o projeto de 4 sem projeto 2 , mas não se pode realizar o projeto de 2 sem que projeto 4 seja realizado).
iv. Os projetos 1 e 5 NÃO poderão ser executados simultaneamente.