Determine se a série dada converge ou diverge: (a) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série converge ou não. Isso está dentro do estudo de **Séries Numéricas** e, mais especificamente, da análise de **convergência de séries**. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns testes de convergência e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da série. Temos . Sabemos que a função seno, , oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de . Então, varia entre e . Assim, podemos dizer que: Dividindo tudo por , temos:

Passo 3

Agora, vamos comparar essa série com a conhecida **série harmônica**: . A série harmônica é famosa por ser divergente, ou seja, ela não converge para um número finito. Como vimos no Passo 2, os termos da nossa série estão sempre maiores ou iguais a . Isso significa que nossa série tem termos que não diminuem mais rápido do que os termos da série harmônica.

Passo 4

Para determinar a convergência ou divergência da nossa série, podemos usar o **Teste da Comparação**. Esse teste diz que se uma série maior ou igual a uma série divergente também diverge. No nosso caso, já que e diverge, então a nossa série também diverge.

Resposta

A série **não converge**; ela diverge.

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