Determine se a série dada converge ou diverge:
(a) ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série converge ou não. Isso está dentro do estudo de **Séries Numéricas** e, mais especificamente, da análise de **convergência de séries**. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns testes de convergência e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos da série. Temos . Sabemos que a função seno, , oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de . Então, varia entre e . Assim, podemos dizer que:
Dividindo tudo por , temos:
Passo 3
Agora, vamos comparar essa série com a conhecida **série harmônica**: . A série harmônica é famosa por ser divergente, ou seja, ela não converge para um número finito.
Como vimos no Passo 2, os termos da nossa série estão sempre maiores ou iguais a . Isso significa que nossa série tem termos que não diminuem mais rápido do que os termos da série harmônica.
Passo 4
Para determinar a convergência ou divergência da nossa série, podemos usar o **Teste da Comparação**. Esse teste diz que se uma série maior ou igual a uma série divergente também diverge. No nosso caso, já que e diverge, então a nossa série também diverge.
Resposta
A série **não converge**; ela diverge.
Exercícios relacionados
Alocação Orçamental
Considere um problema de alocação orçamental, onde 30 milhões de reais estão disponíveis para o conjunto de projetos listados abaixo. O investimento necessário em cada projeto, juntamente com o retorno esperado em termos de utilidade também é dada.
| Projeto | Custo (milhões reais) | Utilidade esperada |
| :--- | :--- | :---: |
| Apoio tempos livres | 6 | 18 |
| Segurança rodoviária | 18 | 16 |
| Redução da criminalidade | 10 | 12 |
| Extensão rodoviária | 9 | 25 |
| Apoio Social | 4 | 14 |
a) O problema consiste em definir os projetos que devem ser financiados, de forma a maximizar a utilidade total esperado sem exceder as limitações orçamentais.
b) Agora, suponha que novas condições de seleção dos projetos. Escreva as restrições para essas condições:
i. Quaisquer dois dos quatro primeiros projetos devem ser realizados.
ii. Os projetos 1 e 3 devem ser efetuados simultaneamente, ou nenhum deles deve ser realizado.
iii. O projeto 2 será realizada apenas se o projeto 4 for realizada mas o projeto 4 não está condicionado à realização do projeto 2 (ou seja, pode realizar-se o projeto de 4 sem projeto 2 , mas não se pode realizar o projeto de 2 sem que projeto 4 seja realizado).
iv. Os projetos 1 e 5 NÃO poderão ser executados simultaneamente.
Seleção de Fonte de Suprimentos
Uma empresa de manufatura após congelado seu plano mestre mensal, recebeu uma encomenda para produzir e entregar um determinado produto que serve de matéria prima a dois clientes considerados estratégicos, dessa forma mesmo congelado o plano de mestre a empresa decidiu atender os pedidos com a capacidade remanescente de suas três fábricas. Desenvolva um programa de produção, dados os custos de produção unitário e de transporte de cada fábrica para o respectivo cliente.
| | Custo Unit Fabricação | | Capacidade Disponível (kg) |
| :--- | :--- | ---: | ---: |
| FABRICA 1 | R$ | 12,00 | 6000 |
| FABRICA 2 | R$ | 10,50 | 4000 |
| FABRICA 3 | R | 13,50 | 10000 |
| | Custos de Transporte | | | |
| :--- | :--- | :--- | :--- | ---: |
| | CLIENTE 1 | | CLIENTE 2 | |
| FABRICA 1 | R | 2,50 | R | 2,00 |
| FABRICA 2 | R | 3,50 | R | 3,00 |
| FABRICA 3 | R | 2,75 | R | 1,75 |
| DEMANDA (Kg) | |
| :--- | :---: |
| CLIENTE 1 | 10000 |
| CLIENTE 2 | 8000 |
Corte de Chapas
Um revendedor de chapas e perfis metálicos recebe da usina siderúrgica determinado tipo de chapa em rolos padronizados de 0,80 m e 1,50 m de largura. Os clientes compram na largura que necessitam e o revendedor corta as chapas conforme o pedido.
Para a próxima semana, recebeu três pedidos com as seguintes especificações:
| PEDIDO | LARGURA (m) | COMPRIMENTO (m) |
| :---: | :---: | :---: |
| 1 | 0,40 | 10 |
| 2 | 0,60 | 30 |
| 3 | 0,70 | 20 |
O problema do revendedor é programar o corte das chapas originais de modo a atender aos três pedidos, com o mínimo desperdício de aparas e sobras na largura das chapas. As dimensões de comprimento não criam grandes inconvenientes, porque as chapas podem ser emendadas para outras aplicações.
Seja . Calcule as duas integrais do enunciado do Teorema de Green, onde é a região triangular de vértices e .