Corte de Chapas
Um revendedor de chapas e perfis metálicos recebe da usina siderúrgica determinado tipo de chapa em rolos padronizados de 0,80 m e 1,50 m de largura. Os clientes compram na largura que necessitam e o revendedor corta as chapas conforme o pedido.
Para a próxima semana, recebeu três pedidos com as seguintes especificações:
Um revendedor de chapas e perfis metálicos recebe da usina siderúrgica determinado tipo de chapa em rolos padronizados de 0,80 m e 1,50 m de largura. Os clientes compram na largura que necessitam e o revendedor corta as chapas conforme o pedido.
Para a próxima semana, recebeu três pedidos com as seguintes especificações:
PEDIDO | LARGURA (m) | COMPRIMENTO (m) |
---|---|---|
1 | 0,40 | 10 |
2 | 0,60 | 30 |
3 | 0,70 | 20 |
O problema do revendedor é programar o corte das chapas originais de modo a atender aos três pedidos, com o mínimo desperdício de aparas e sobras na largura das chapas. As dimensões de comprimento não criam grandes inconvenientes, porque as chapas podem ser emendadas para outras aplicações.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um revendedor que trabalha com chapas metálicas que vêm em larguras padrão de 0,80 metros e 1,50 metros. Os clientes fazem pedidos especificando a largura e o comprimento que precisam. Nosso objetivo é descobrir como cortar essas chapas padrão para atender aos três pedidos recebidos, minimizando o desperdício de material na largura das chapas.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com um problema de otimização conhecido como Problema do Corte de Chapas. Para resolver isso, vamos usar um pouco de matemática para combinar as larguras dos pedidos de forma eficiente nas larguras padrão disponíveis.
O que vamos precisar:
- Conhecer as larguras padrão das chapas (0,80 m e 1,50 m).
- Analisar os pedidos de corte (larguras e quantidades necessárias).
- Encontrar combinações de cortes que utilizem o mínimo possível de material extra.
Passo 2
Vamos listar os pedidos recebidos:
- Pedido 1: Largura de 0,40 m e comprimento de 10 m.
- Pedido 2: Largura de 0,60 m e comprimento de 30 m.
- Pedido 3: Largura de 0,70 m e comprimento de 20 m.
Como o comprimento das chapas pode ser emendado sem problemas, vamos focar apenas nas larguras para otimizar o corte.
Passo 3
Agora, vamos pensar nas larguras padrão disponíveis: 0,80 m e 1,50 m. Nosso objetivo é encaixar os cortes necessários dentro dessas larguras da forma mais eficiente possível.
Teoria aplicada: Isso é semelhante ao Problema da Mochila, onde tentamos maximizar o uso do espaço disponível sem ultrapassar um limite. Aqui, queremos maximizar o uso da largura da chapa padrão sem desperdício.
Passo 4
Vamos analisar como combinar os pedidos dentro de cada largura padrão:
-
Para a chapa de 0,80 m:
- Podemos tentar combinar múltiplos pedidos que somados não excedam 0,80 m.
-
Para a chapa de 1,50 m:
- Temos mais espaço, então podemos combinar mais pedidos ou cortes maiores.
Passo 5
Combinações possíveis:
-
Chapa de 0,80 m:
- Opção 1: Pedido 1 (0,40 m) + Pedido 1 (0,40 m) = 0,80 m
- Opção 2: Pedido 2 (0,60 m) + sobra de 0,20 m
- Opção 3: Não cabe o Pedido 3 (0,70 m), pois 0,70 m + 0,40 m excede 0,80 m
-
Chapa de 1,50 m:
- Opção 1: Pedido 3 (0,70 m) + Pedido 2 (0,60 m) = 1,30 m + sobra de 0,20 m
- Opção 2: Pedido 3 (0,70 m) + Pedido 1 (0,40 m) + Pedido 1 (0,40 m) = 1,50 m exatamente
Passo 6
Vamos calcular quantas chapas precisamos para cada opção:
-
Chapa de 0,80 m:
- Opção 1: Cada chapa pode atender 2 pedidos de 0,40 m.
- Total pedidos 1: 10 / 2 = 5 chapas
- Opção 2: Cada chapa pode atender 1 pedido de 0,60 m.
- Total pedidos 2: 30 / 1 = 30 chapas
- Total com chapas de 0,80 m: 5 + 30 = 35 chapas
- Opção 1: Cada chapa pode atender 2 pedidos de 0,40 m.
-
Chapa de 1,50 m:
- Opção 1: Cada chapa pode atender 1 pedido de 0,70 m + 1 de 0,60 m.
- Total pedidos 2: 30 / 1 = 30 chapas
- Total pedidos 3: 20 / 1 = 20 chapas
- Opção 2: Cada chapa pode atender 1 pedido de 0,70 m + 2 de 0,40 m.
- Total pedidos 3: 20 / 1 = 20 chapas
- Total pedidos 1: 10 / 2 = 5 chapas
- Total com chapas de 1,50 m: 30 + 20 + 5 = 55 chapas
- Opção 1: Cada chapa pode atender 1 pedido de 0,70 m + 1 de 0,60 m.
Passo 7
Comparando as duas opções, vemos que usar apenas chapas de 0,80 m resulta em 35 chapas, enquanto usar apenas chapas de 1,50 m resulta em 55 chapas. Portanto, a melhor estratégia é utilizar chapas de 0,80 m para atender aos pedidos, já que isso minimiza o uso de material.
Resposta
Para atender aos três pedidos com o mínimo desperdício, o revendedor deve utilizar 35 chapas de 0,80 metros.
Exercícios relacionados
Determine se a série dada converge ou diverge:
(a) ;
(a)
Alocação Orçamental
Considere um problema de alocação orçamental, onde 30 milhões de reais estão disponíveis para o conjunto de projetos listados abaixo. O investimento necessário em cada projeto, juntamente com o retorno esperado em termos de utilidade também é dada.
Considere um problema de alocação orçamental, onde 30 milhões de reais estão disponíveis para o conjunto de projetos listados abaixo. O investimento necessário em cada projeto, juntamente com o retorno esperado em termos de utilidade também é dada.
Projeto | Custo (milhões reais) | Utilidade esperada |
---|---|---|
Apoio tempos livres | 6 | 18 |
Segurança rodoviária | 18 | 16 |
Redução da criminalidade | 10 | 12 |
Extensão rodoviária | 9 | 25 |
Apoio Social | 4 | 14 |
a) O problema consiste em definir os projetos que devem ser financiados, de forma a maximizar a utilidade total esperado sem exceder as limitações orçamentais.
b) Agora, suponha que novas condições de seleção dos projetos. Escreva as restrições para essas condições:
i. Quaisquer dois dos quatro primeiros projetos devem ser realizados.
ii. Os projetos 1 e 3 devem ser efetuados simultaneamente, ou nenhum deles deve ser realizado.
iii. O projeto 2 será realizada apenas se o projeto 4 for realizada mas o projeto 4 não está condicionado à realização do projeto 2 (ou seja, pode realizar-se o projeto de 4 sem projeto 2 , mas não se pode realizar o projeto de 2 sem que projeto 4 seja realizado).
iv. Os projetos 1 e 5 NÃO poderão ser executados simultaneamente.
b) Agora, suponha que novas condições de seleção dos projetos. Escreva as restrições para essas condições:
i. Quaisquer dois dos quatro primeiros projetos devem ser realizados.
ii. Os projetos 1 e 3 devem ser efetuados simultaneamente, ou nenhum deles deve ser realizado.
iii. O projeto 2 será realizada apenas se o projeto 4 for realizada mas o projeto 4 não está condicionado à realização do projeto 2 (ou seja, pode realizar-se o projeto de 4 sem projeto 2 , mas não se pode realizar o projeto de 2 sem que projeto 4 seja realizado).
iv. Os projetos 1 e 5 NÃO poderão ser executados simultaneamente.
Seja
. Calcule as duas integrais do enunciado do Teorema de Green, onde
é a região triangular de vértices
e
.
Para
, determine se a série
converge ou diverge. Justifique!