Se alpha é uma base de H subset R^n, então todo vetor de H se escreve de forma única como combinação linear dos elementos de alpha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que se alpha é uma base de um subespaço H de R^n, então todo vetor em H pode ser escrito de forma única como uma combinação linear dos vetores de alpha. Vamos explorar isso usando os conceitos de base e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, o que é uma base? Uma base de um espaço vetorial como H é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço H. Ou seja, qualquer vetor em H pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.

Passo 3

Agora, o que é uma combinação linear? É uma expressão onde cada vetor da base é multiplicado por um escalar (um número real, no caso de R^n) e depois somados. Por exemplo, se alpha = v1, v2, dots, vk, então uma combinação linear de alpha é c1v1 + c2v2 + dots + ckvk, onde c1, c2, dots, ck são escalares.

Passo 4

O enunciado também menciona que essa combinação linear é única. Isso significa que não existem dois conjuntos diferentes de escalares que produzem o mesmo vetor em H. Essa unicidade é garantida porque os vetores da base são linearmente independentes.

Passo 5

Vamos resumir: dado um vetor qualquer v in H, por definição de base, existe uma combinação linear dos vetores em alpha que resulta em v. E, devido à linear independência dos vetores da base, essa combinação é única.

Resposta

Portanto, se alpha é uma base de H subset R^n, então todo vetor em H pode ser escrito de forma única como uma combinação linear dos elementos de alpha.

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