Se
é uma base de
, então todo vetor de
se escreve de forma única como combinação linear dos elementos de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que se
é uma base de um subespaço
de
, então todo vetor em
pode ser escrito de forma única como uma combinação linear dos vetores de
. Vamos explorar isso usando os conceitos de base e combinação linear.
Passo 2
Primeiro, o que é uma base? Uma base de um espaço vetorial como
é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço
. Ou seja, qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.
Passo 3
Agora, o que é uma combinação linear? É uma expressão onde cada vetor da base é multiplicado por um escalar (um número real, no caso de
) e depois somados. Por exemplo, se
, então uma combinação linear de
é
, onde
são escalares.
Passo 4
O enunciado também menciona que essa combinação linear é única. Isso significa que não existem dois conjuntos diferentes de escalares que produzem o mesmo vetor em
. Essa unicidade é garantida porque os vetores da base são linearmente independentes.
Passo 5
Vamos resumir: dado um vetor qualquer
, por definição de base, existe uma combinação linear dos vetores em
que resulta em
. E, devido à linear independência dos vetores da base, essa combinação é única.
Resposta
Portanto, se
é uma base de
, então todo vetor em
pode ser escrito de forma única como uma combinação linear dos elementos de
.