Verifique se a afirmação é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(d) Se
é LD, então
para algum
.
(d) Se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão. A gente tem um conjunto de vetores
que é linearmente dependente (LD). A afirmação que a gente precisa verificar é: "Se
é LD, então
para algum
". Vamos precisar entender o que é dependência linear e como isso se relaciona com a igualdade de vetores na forma
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente. Um conjunto de vetores é LD se pelo menos um vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, existe uma relação do tipo
, onde nem todos os coeficientes
são zero.
Passo 3
Agora, a afirmação diz que se
é LD, então necessariamente
é um múltiplo de
, isto é,
para algum número real
. Vamos ver se isso sempre acontece.
Passo 4
Vamos pensar num contra-exemplo. Suponha que
,
e
.
Passo 5
Nesse caso, temos que:
Isso mostra que
é uma combinação linear de
e
, então o conjunto
é linearmente dependente.
Passo 6
No entanto, olhando os vetores
e
, vemos que não existe um escalar
tal que
, já que
não é múltiplo de
.
Passo 7
Esse contra-exemplo mostra que mesmo o conjunto
ser linearmente dependente, não é necessariamente verdade que
é um múltiplo de
.
Resposta
A afirmação é Falsa. Um contra-exemplo é o conjunto
com
,
e
, que é linearmente dependente, mas
não é múltiplo de
.