Verifique se a afirmação é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(d) Se u, v, w é LD, então u=alpha v para algum alpha in R.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão. A gente tem um conjunto de vetores que é linearmente dependente (LD). A afirmação que a gente precisa verificar é: "Se é LD, então para algum ". Vamos precisar entender o que é dependência linear e como isso se relaciona com a igualdade de vetores na forma .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente. Um conjunto de vetores é LD se pelo menos um vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, existe uma relação do tipo , onde nem todos os coeficientes são zero.

Passo 3

Agora, a afirmação diz que se é LD, então necessariamente é um múltiplo de , isto é, para algum número real . Vamos ver se isso sempre acontece.

Passo 4

Vamos pensar num contra-exemplo. Suponha que 10, 01 e 11.

Passo 5

Nesse caso, temos que:
w = u + v
Isso mostra que é uma combinação linear de e , então o conjunto é linearmente dependente.

Passo 6

No entanto, olhando os vetores 10 e 01, vemos que não existe um escalar tal que , já que não é múltiplo de .

Passo 7

Esse contra-exemplo mostra que mesmo o conjunto ser linearmente dependente, não é necessariamente verdade que é um múltiplo de .

Resposta

A afirmação é Falsa. Um contra-exemplo é o conjunto 10 com 01, 11 e , que é linearmente dependente, mas não é múltiplo de .

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