Verifique se existem valores reais x, y e z tais que (7,3,8)=x(2,1,1)-y(1,1,0)+z(0,0,1);

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar se existem valores reais (7,3,8) = x(2,1,1) - y(1,1,0) + z(0,0,1) , e que satisfazem a equação vetorial:
Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com combinações lineares de vetores. Para resolver, vamos transformar essa equação vetorial em um sistema de equações lineares e encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a equação vetorial:
(7,3,8) = (2x, x, x) - (y, y, 0) + (0, 0, z)
Agora, somamos os componentes correspondentes:
(7,3,8) = (2x - y, x - y, x + z)

Passo 3

Isso nos dá um sistema de três equações com três incógnitas:
2x - y = 7 x - y = 3 x + z = 8
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 4

Primeiro, subtraímos a segunda equação da primeira para eliminar (2x - y) - (x - y) = 7 - 3 2x - y - x + y = 4 x = 4 :
Encontramos que .

Passo 5

Com o valor de 4 - y = 3 y = 4 - 3 y = 1 , substituímos na segunda equação para encontrar :
Então, .

Passo 6

Agora, usamos o valor de 4 + z = 8 z = 8 - 4 z = 4 na terceira equação para encontrar :
Portanto, .

Resposta

Sim, existem valores reais que satisfazem a equação: , e .

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