Sejam A=[cccc1 & 5 & -2 & 0 -3 & 1 & 9 & -5 4 & -8 & -1 & 7], b=[c-7 9 0] e p=[c3 -2 0 -4].
(b) Pode-se mostrar que p satisfaz a equação matricial A x=b. Exiba b como uma combinação linear das colunas de A.

Passo 1

Beleza, vamos olhar o que a questão tá pedindo. A gente tem uma matriz , um vetor e outro vetor . A questão diz que satisfaz a equação matricial . O conteúdo aqui é sobre combinação linear de colunas de uma matriz. Pra resolver, a gente precisa entender como expressar como uma combinação das colunas de usando os coeficientes do vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Se você tem uma matriz c1 A1 + c2 A2 + c3 A3 + c4 A4 com colunas , então uma combinação linear dessas colunas é qualquer vetor que pode ser escrito como:
onde são números reais.

Passo 3

A equação matricial significa exatamente isso: é uma combinação linear das colunas de , onde os coeficientes dessa combinação são os componentes do vetor . No nosso caso, sabemos que satisfaz essa equação, ou seja, é o vetor de coeficientes que faz a combinação linear dar .

Passo 4

Vamos escrever isso matematicamente. Se p1 p2 p3 p4 , então:
b = p1 A1 + p2 A2 + p3 A3 + p4 A4
Isso quer dizer que cada componente de é a soma das colunas de multiplicadas pelos respectivos coeficientes de .

Passo 5

Vamos agora identificar as colunas de A = 1 & 5 & -2 & 0 -3 & 1 & 9 & -5 4 & -8 & -1 & 7 :
A1 = 1 -3 4 , A2 = 5 1 -8 , A3 = -2 9 -1 , A4 = 0 -5 7
Então:

Passo 6

Agora, substituindo 3 -2 0 -4 na combinação linear, temos:
b = 3 A1 + (-2) A2 + 0 A3 + (-4) A4

Passo 7

Vamos calcular cada termo:
3 A1 = 3 1 -3 4 = 3 -9 12
-2 A2 = -2 5 1 -8 = -10 -2 16
0 A3 = 0 -2 9 -1 = 0 0 0
-4 A4 = -4 0 -5 7 = 0 20 -28

Passo 8

Agora, somamos todos esses vetores:
b = 3 -9 12 + -10 -2 16 + 0 0 0 + 0 20 -28
b = 3 - 10 + 0 + 0 -9 - 2 + 0 + 20 12 + 16 + 0 - 28 = -7 9 0

Resposta

Assim, b = 3 A1 - 2 A2 + 0 A3 - 4 A4 pode ser expressa como:

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