Para
diga se cada uma das sequências converge ou diverge e, se convergir, determine o limite:
Passo 1
Beleza, vamos olhar esse exercício que pede para verificar se cada uma dessas sequências converge ou diverge quando
é um número complexo. Se convergir, também precisamos achar o limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise de sequências e limites, especialmente trabalhando com potências de números complexos e manipulação de expressões algébricas. Vamos precisar entender como o comportamento de
muda com diferentes valores de
e com o crescimento de
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a sequência
.
Quando temos uma sequência na forma
, o comportamento dela depende do módulo (ou valor absoluto) de
. O módulo de um número complexo
é dado por
.
- Se
: À medida que cresce, tende a zero, porque multiplicar um número menor que 1 por ele mesmo muitas vezes faz ele se aproximar de zero. - Se
: A sequência oscila ou permanece constante, dependendo do valor de . Por exemplo, se , a sequência é sempre 1. Se , a sequência alterna entre 1 e -1. - Se
: cresce sem limites, ou seja, a sequência diverge para o infinito.
Então,
converge para 0 se
, e diverge se
.
Passo 3
Agora, vamos ver a sequência
.
Aqui, além de
, temos um fator
que cresce à medida que
aumenta. Vamos considerar os mesmos casos para
:
- Se
: tende a zero, e o fator cresce, mas a diminuição de para zero domina o crescimento de . Portanto, o produto também tende a zero. - Se
: não tende a zero, e multiplicar por que cresce sem limite faz com que também cresça sem limite ou oscile sem convergir a nenhum valor específico. - Se
: já cresce sem limite, e multiplicar por acelera ainda mais esse crescimento, fazendo com que a sequência diverge para o infinito.
Então,
converge para 0 se
, e diverge se
.
Passo 4
Vamos analisar agora a sequência
.
Aqui, temos
dividido por
. Vamos considerar os mesmos casos para
:
- Se
: tende a zero mais rápido que cresce, então o quociente tende a zero. - Se
: oscila ou permanece constante, e dividir por que cresce sem limite faz com que o quociente tende a zero. - Se
: cresce exponencialmente, muito mais rápido que cresce linearmente, fazendo com que cresça sem limite, ou seja, diverja para o infinito.
Então,
converge para 0 se
, e diverge se
.
Passo 5
Por fim, vamos examinar a sequência
.
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses. Usando a identidade de diferença de raízes quadradas:
Então, a sequência se torna:
Agora, dividimos o numerador e o denominador por
:
À medida que
cresce,
tende a zero, então
. Assim, a expressão se aproxima de:
Portanto, a sequência converge para
.
Resposta
A sequência
converge para 0 se
e diverge caso contrário. A sequência
também converge para 0 se
e diverge se
. A sequência
converge para 0 se
e diverge se
. Por fim, a sequência
converge para
.
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?
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Determine o domínio das funções abaixo: