Para diga se cada uma das sequências converge ou diverge e, se convergir, determine o limite:

Passo 1

Beleza, vamos olhar esse exercício que pede para verificar se cada uma dessas sequências converge ou diverge quando é um número complexo. Se convergir, também precisamos achar o limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise de sequências e limites, especialmente trabalhando com potências de números complexos e manipulação de expressões algébricas. Vamos precisar entender como o comportamento de muda com diferentes valores de e com o crescimento de .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a sequência .
Quando temos uma sequência na forma , o comportamento dela depende do módulo (ou valor absoluto) de . O módulo de um número complexo é dado por .
  • Se : À medida que cresce, tende a zero, porque multiplicar um número menor que 1 por ele mesmo muitas vezes faz ele se aproximar de zero.
  • Se : A sequência oscila ou permanece constante, dependendo do valor de . Por exemplo, se , a sequência é sempre 1. Se , a sequência alterna entre 1 e -1.
  • Se : cresce sem limites, ou seja, a sequência diverge para o infinito.
Então, converge para 0 se , e diverge se .

Passo 3

Agora, vamos ver a sequência .
Aqui, além de , temos um fator que cresce à medida que aumenta. Vamos considerar os mesmos casos para :
  • Se : tende a zero, e o fator cresce, mas a diminuição de para zero domina o crescimento de . Portanto, o produto também tende a zero.
  • Se : não tende a zero, e multiplicar por que cresce sem limite faz com que também cresça sem limite ou oscile sem convergir a nenhum valor específico.
  • Se : já cresce sem limite, e multiplicar por acelera ainda mais esse crescimento, fazendo com que a sequência diverge para o infinito.
Então, converge para 0 se , e diverge se .

Passo 4

Vamos analisar agora a sequência .
Aqui, temos dividido por . Vamos considerar os mesmos casos para :
  • Se : tende a zero mais rápido que cresce, então o quociente tende a zero.
  • Se : oscila ou permanece constante, e dividir por que cresce sem limite faz com que o quociente tende a zero.
  • Se : cresce exponencialmente, muito mais rápido que cresce linearmente, fazendo com que cresça sem limite, ou seja, diverja para o infinito.
Então, converge para 0 se , e diverge se .

Passo 5

Por fim, vamos examinar a sequência .
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses. Usando a identidade de diferença de raízes quadradas:
Então, a sequência se torna:
Agora, dividimos o numerador e o denominador por :
À medida que cresce, tende a zero, então . Assim, a expressão se aproxima de:
Portanto, a sequência converge para .

Resposta

A sequência converge para 0 se e diverge caso contrário. A sequência também converge para 0 se e diverge se . A sequência converge para 0 se e diverge se . Por fim, a sequência converge para .

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