Determine o domínio das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o domínio da função . Isso está dentro do conteúdo de funções e seus domínios. Para resolver isso, vamos precisar entender que o domínio de uma função logarítmica exige que o que está dentro do log seja maior que zero.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer a condição para o domínio da função logarítmica. Sabemos que:
Então, nosso objetivo é encontrar todos os valores de e que satisfazem essa inequação.

Passo 3

Agora, vamos tentar simplificar a expressão dentro do log para facilitar a análise. Vamos fatorar alguns termos:
Perceba que pode ser fatorado usando a fórmula de soma de cubos:
Então, nossa expressão fica:

Passo 4

Embora a fatoração ajude a entender a estrutura da expressão, pode ser complicado resolver diretamente essa inequação. Então, vamos analisar casos específicos para entender melhor.
Caso 1: Suponha que
Substituindo na expressão:
Para que , precisamos que , ou seja, .
Caso 2: Suponha que
Substituindo na expressão:
Para que , precisamos que , ou seja, .

Passo 5

Agora, vamos considerar quando e são diferentes de zero. A expressão geral é:
Podemos reescrever essa expressão como:
Isso sugere que a interação entre e afeta o sinal da expressão. Para simplificar, podemos tentar identificar simetrias ou propriedades que nos ajudem a determinar onde a expressão é positiva.

Passo 6

Após analisar os casos específicos e a expressão geral, concluímos que o domínio da função consiste em todos os pares que satisfazem a inequação:
Isso inclui combinações de e onde a expressão dentro do logaritmo é positiva, como nos casos onde e são ambos negativos, ou outras combinações que satisfaçam a inequação.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pares que satisfazem a inequação .

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27.
Existe ?
Para diga se cada uma das sequências converge ou diverge e, se convergir, determine o limite: