Determine o domínio das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o domínio da função
. Isso está dentro do conteúdo de funções e seus domínios. Para resolver isso, vamos precisar entender que o domínio de uma função logarítmica exige que o que está dentro do log seja maior que zero.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer a condição para o domínio da função logarítmica. Sabemos que:
Então, nosso objetivo é encontrar todos os valores de
e
que satisfazem essa inequação.
Passo 3
Agora, vamos tentar simplificar a expressão dentro do log para facilitar a análise. Vamos fatorar alguns termos:
Perceba que
pode ser fatorado usando a fórmula de soma de cubos:
Então, nossa expressão fica:
Passo 4
Embora a fatoração ajude a entender a estrutura da expressão, pode ser complicado resolver diretamente essa inequação. Então, vamos analisar casos específicos para entender melhor.
Caso 1: Suponha que
Substituindo na expressão:
Para que
, precisamos que
, ou seja,
.
Caso 2: Suponha que
Substituindo na expressão:
Para que
, precisamos que
, ou seja,
.
Passo 5
Agora, vamos considerar quando
e
são diferentes de zero. A expressão geral é:
Podemos reescrever essa expressão como:
Isso sugere que a interação entre
e
afeta o sinal da expressão. Para simplificar, podemos tentar identificar simetrias ou propriedades que nos ajudem a determinar onde a expressão é positiva.
Passo 6
Após analisar os casos específicos e a expressão geral, concluímos que o domínio da função
consiste em todos os pares
que satisfazem a inequação:
Isso inclui combinações de
e
onde a expressão dentro do logaritmo é positiva, como nos casos onde
e
são ambos negativos, ou outras combinações que satisfaçam a inequação.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
que satisfazem a inequação
.
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27.
27.
Existe
?
Para
diga se cada uma das sequências converge ou diverge e, se convergir, determine o limite: