Determine o domínio das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente descobrir o domínio da função . O domínio de uma função são todos os pares para os quais a função está bem definida. Para isso, precisamos ver onde o denominador não é zero e onde a função está definida em termos de operações matemáticas envolvidas, como divisão e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que o denominador não seja igual a zero, porque divisão por zero não é permitida. Então, temos a condição:
Isso significa que:
Ou seja, e .

Passo 3

Agora, vamos entender que a função cosseno, , está definida para todos os números reais, então não temos restrições adicionais dessa parte da função. A outra parte, , também está definida para todos os reais, já que é apenas um polinômio.

Passo 4

Juntando tudo, as únicas restrições para o domínio são que não pode ser igual a nem a . Portanto, o domínio é todo o plano menos essas duas linhas onde e .

Resposta

O domínio da função é:
Ou seja, todos os pares onde e .

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Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique.
Para diga se cada uma das sequências converge ou diverge e, se convergir, determine o limite:
Mostre, usando o produto de séries (Proposição 2.7), que se então:
Mostre que (observe que a função só está definida para ).