Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é calcular o limite quando vai para o infinito da expressão . A matéria que vamos usar é Limites de sequências, especialmente envolvendo números complexos. Vamos precisar entender como funcionam as potências de números complexos e o comportamento delas conforme cresce bastante.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte mais complicada da expressão: . Para facilitar, vamos chamar esse número de , ou seja, .
Passo 3
Precisamos descobrir o módulo de , que é a distância do número complexo até a origem no plano complexo. O módulo de um número complexo é dado por . Então, vamos calcular:
Passo 4
Vimos que . Quando elevamos um número complexo de módulo 1 a uma potência , a gente basicamente está girando esse número no plano complexo, mas mantendo a distância da origem igual a 1. Assim, vai continuar girando ao redor do círculo unitário sem se aproximar de nenhum ponto específico.
Passo 5
Agora, vamos pensar no limite da expressão inteira: . Sabemos que não está se aproximando de nenhum número fixo porque está sempre girando no círculo unitário. Isso significa que também não vai se aproximar de nenhum valor fixo, pois a soma de com algo que está girando não estabiliza em nenhum ponto.
Passo 6
Como não tem um limite definido quando vai para o infinito, a expressão inteira também não tem um limite definido. Portanto, o limite que estamos procurando não existe.