Existe lim n infty[i+(4+3 i5)^n] ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é calcular o limite quando vai para o infinito da expressão . A matéria que vamos usar é Limites de sequências, especialmente envolvendo números complexos. Vamos precisar entender como funcionam as potências de números complexos e o comportamento delas conforme cresce bastante.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte mais complicada da expressão: . Para facilitar, vamos chamar esse número de , ou seja, .

Passo 3

Precisamos descobrir o módulo de |z| = | 4 + 3i5 | = raiz4^2 + 3^25 = raiz16 + 95 = raiz255 = 55 = 1 , que é a distância do número complexo até a origem no plano complexo. O módulo de um número complexo é dado por . Então, vamos calcular:

Passo 4

Vimos que . Quando elevamos um número complexo de módulo 1 a uma potência , a gente basicamente está girando esse número no plano complexo, mas mantendo a distância da origem igual a 1. Assim, vai continuar girando ao redor do círculo unitário sem se aproximar de nenhum ponto específico.

Passo 5

Agora, vamos pensar no limite da expressão inteira: . Sabemos que não está se aproximando de nenhum número fixo porque está sempre girando no círculo unitário. Isso significa que também não vai se aproximar de nenhum valor fixo, pois a soma de com algo que está girando não estabiliza em nenhum ponto.

Passo 6

Como não tem um limite definido quando vai para o infinito, a expressão inteira também não tem um limite definido. Portanto, o limite que estamos procurando não existe.

Resposta

O limite não existe.

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