Um alpinista está escalando um penhasco quando, de repente, é surpreendido por um nevoeiro intenso. Para saber a que altura se encontra, ele joga uma pedra lá do alto e 15,0 s depois ouve o som dela atingindo o solo, ao pé do penhasco. Desprezando-se a resistência do ar, a que altura está o alpinista, considerando que a velocidade do som seja ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um alpinista que, para descobrir a que altura está, joga uma pedra do alto de um penhasco e, 15 segundos depois, ouve o som da pedra atingindo o solo. Vamos usar conceitos de cinemática (movimento dos corpos) e a velocidade do som para encontrar a altura do penhasco. Precisaremos das fórmulas para movimento uniformemente acelerado e para movimento retilíneo uniforme.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Quando o alpinista joga a pedra, ela demora um certo tempo para cair até o solo. Esse tempo chamaremos de . Depois que a pedra atinge o solo, o som viaja de volta até ele. O tempo que o som leva para fazer esse trajeto chamaremos de . Juntos, esses tempos somam 15 segundos:

Passo 3

Vamos calcular o tempo que o som leva para voltar até o alpinista. Sabemos que a velocidade do som é de e a distância que o som percorre é a mesma que a altura do penhasco, . A relação entre velocidade, distância e tempo é dada por:
â

Passo 4

Agora, precisamos relacionar a altura com o tempo de queda da pedra . Sabemos que a pedra está em queda livre, então a distância percorrida é dada pela fórmula do movimento uniformemente acelerado:
Onde é a aceleração da gravidade.

Passo 5

Vamos substituir na equação do passo 2 usando a relação que encontramos no passo 3:
E como , podemos substituir isso na equação:
Simplificando:

Passo 6

Para facilitar, vamos multiplicar todos os termos por para eliminar o denominador:

Passo 7

Agora temos uma equação quadrática na forma:
Podemos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .

Passo 8

Calculando o discriminante ( ):

Passo 9

Agora, aplicando na fórmula de Bhaskara:
Vamos considerar apenas a solução positiva:

Passo 10

Com o tempo de queda encontrado, podemos calcular a altura :

Resposta

A altura do penhasco é de aproximadamente 786 metros.

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