Um alpinista está escalando um penhasco quando, de repente, é surpreendido por um nevoeiro intenso. Para saber a que altura se encontra, ele joga uma pedra lá do alto e 15,0 s depois ouve o som dela atingindo o solo, ao pé do penhasco. Desprezando-se a resistência do ar, a que altura está o alpinista, considerando que a velocidade do som seja
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um alpinista que, para descobrir a que altura está, joga uma pedra do alto de um penhasco e, 15 segundos depois, ouve o som da pedra atingindo o solo. Vamos usar conceitos de cinemática (movimento dos corpos) e a velocidade do som para encontrar a altura do penhasco. Precisaremos das fórmulas para movimento uniformemente acelerado e para movimento retilíneo uniforme.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Quando o alpinista joga a pedra, ela demora um certo tempo para cair até o solo. Esse tempo chamaremos de
. Depois que a pedra atinge o solo, o som viaja de volta até ele. O tempo que o som leva para fazer esse trajeto chamaremos de
. Juntos, esses tempos somam 15 segundos:
Passo 3
Vamos calcular o tempo que o som leva para voltar até o alpinista. Sabemos que a velocidade do som é de
e a distância que o som percorre é a mesma que a altura do penhasco,
. A relação entre velocidade, distância e tempo é dada por:
Passo 4
Agora, precisamos relacionar a altura
com o tempo de queda da pedra
. Sabemos que a pedra está em queda livre, então a distância percorrida é dada pela fórmula do movimento uniformemente acelerado:
Onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 5
Vamos substituir
na equação do passo 2 usando a relação que encontramos no passo 3:
E como
, podemos substituir isso na equação:
Simplificando:
Passo 6
Para facilitar, vamos multiplicar todos os termos por
para eliminar o denominador:
Passo 7
Agora temos uma equação quadrática na forma:
Podemos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Passo 8
Calculando o discriminante (
):
Passo 9
Agora, aplicando na fórmula de Bhaskara:
Vamos considerar apenas a solução positiva:
Passo 10
Com o tempo de queda
encontrado, podemos calcular a altura
:
Resposta
A altura do penhasco é de aproximadamente 786 metros.