Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
dy/dx = (x - 1 / 2) / (y(y - 1)(y + 2)) ; y((3 + raiz(3)) / 6) = -1 ?
Observação: raiz(3) aproximadamente 1.7, raiz(51) aproximadamente 7.1.
-1,2.
d ( (3 - raiz(51)) / 6 , 2 ).
b ( (3 - raiz(51)) / 6 , (3 + raiz(51)) / 6 ).
e ( (3 - raiz(51)) / 6 , +infinito ).
c (-1, (3 + raiz(51)) / 6).
f (-1, +infinito).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. Nosso objetivo é encontrar o intervalo de validade da solução desse problema. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais ordinárias e intervalos de existência. Vamos precisar entender onde a solução pode existir sem encontrar problemas, como divisão por zero ou comportamentos estranhos.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação diferencial que temos:
E o valor inicial dado é:
Isso significa que quando , o valor de é .

Passo 3

Para encontrar o intervalo de validade, precisamos identificar onde a solução é bem comportada. Isso envolve verificar onde a equação diferencial está definida. A equação não está definida quando o denominador é zero, ou seja, quando:
Resolvendo isso, encontramos os pontos problemáticos:
Esses são os valores de que podem causar divisão por zero na equação diferencial, o que rompe a solução.

Passo 4

Como nossa condição inicial é , que está entre e , vamos analisar como a solução se comporta nesse intervalo. Queremos garantir que não alcance os valores que tornam a equação indefinida.

Passo 5

Agora, vamos considerar a solução da equação diferencial. Sem resolver completamente a equação, podemos analisar que a solução existe enquanto permanece entre os valores onde a equação está definida, ou seja, entre e .

Passo 6

Finalmente, precisamos determinar o intervalo de onde essa condição é mantida. Observando as alternativas, a única que corresponde a um intervalo onde permanece entre e é:
d)

Resposta

A alternativa correta que representa o intervalo de validade é d) .

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