Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
dy/dx = (x - 1 / 2) / (y(y - 1)(y + 2)) ; y((3 + raiz(3)) / 6) = -1 ?
Observação: raiz(3) aproximadamente 1.7, raiz(51) aproximadamente 7.1.
-1,2.
d ( (3 - raiz(51)) / 6 , 2 ).
b ( (3 - raiz(51)) / 6 , (3 + raiz(51)) / 6 ).
e ( (3 - raiz(51)) / 6 , +infinito ).
c (-1, (3 + raiz(51)) / 6).
f (-1, +infinito).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. Nosso objetivo é encontrar o intervalo de validade da solução desse problema. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais ordinárias e intervalos de existência. Vamos precisar entender onde a solução pode existir sem encontrar problemas, como divisão por zero ou comportamentos estranhos.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação diferencial que temos:
E o valor inicial dado é:
Isso significa que quando , o valor de é .

Passo 3

Para encontrar o intervalo de validade, precisamos identificar onde a solução é bem comportada. Isso envolve verificar onde a equação diferencial está definida. A equação não está definida quando o denominador é zero, ou seja, quando:
Resolvendo isso, encontramos os pontos problemáticos:
Esses são os valores de que podem causar divisão por zero na equação diferencial, o que rompe a solução.

Passo 4

Como nossa condição inicial é , que está entre e , vamos analisar como a solução se comporta nesse intervalo. Queremos garantir que não alcance os valores que tornam a equação indefinida.

Passo 5

Agora, vamos considerar a solução da equação diferencial. Sem resolver completamente a equação, podemos analisar que a solução existe enquanto permanece entre os valores onde a equação está definida, ou seja, entre e .

Passo 6

Finalmente, precisamos determinar o intervalo de onde essa condição é mantida. Observando as alternativas, a única que corresponde a um intervalo onde permanece entre e é:
d)

Resposta

A alternativa correta que representa o intervalo de validade é d) .

Exercícios relacionados

Considere a solução do problema de valor inicial
l d yd t=-(y^2-a2 y)(y^2+2 a y+a^2), para 0
Podemos afirmar que:
  • Se y0>0, então a solução se aproxima de a2, quando t +infty. Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    b Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de a2, quando t +infty. Se y0<-a ou y0>a2, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    c Se y0<0, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a2, quando t +infty.
    d Se -a, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a2, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    e Se-a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>a2, então a solução se aproxima de a2, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    f Se -a, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce. Se y0>a2, então a solução se aproxima de a2, quando t +infty.
Considere a solução do problema de valor inicial
l d yd t=-(y^2+a2 y)(y^2-a2 y-a^22), para 0
Podemos afirmar que
  • Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se -a2, então a solução se aproxima de -a2, quando t +infty. Se y0<-a2, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    b Se -a2, então a solução se aproxima de -a2, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a2 ou y0>a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    c Se y0<0, então a solução se aproxima de -a2, quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty.
    d Se-a2, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a2, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    e Se-a2, então a solução se aproxima de -a2, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>a, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a2, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    f Se -a2, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0<-a2, então |y(t)| +infty, quando t cresce. Se y0>a, então a solução se aproxima de a, quando t +infty.
Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
dy/dx = (x - 1/2) / (y(y - 1)(y + 2)) y((3 - raiz(3)) / 6) = -1
Observação: raiz(3) aproximadamente 1.7, raiz(51) aproximadamente 7.1.
-1,2.
d ( (3 - raiz(51)) / 6 , 2 ).
b ( (3 - raiz(51)) / 6 , (3 + raiz(51)) / 6 ).
e ( (3 - raiz(51)) / 6 , +infinito ).
c (-1, (3 + raiz(51)) / 6).
f (-1, +infinito).
Um professor pediu a um aluno que escrevesse um PVI para descrever o comportamento de uma população, que satisfaça as seguintes condições:
  1. A população limiar é y_L, ou seja, se a população inicial for menor do que y_L, então a população tende a zero, quando t -> +infinito e se for maior do que y_L, então a população é crescente.
  2. Se a população inicial for igual a zero, então ela permanece neste valor, quando t cresce.
    Qual das alternativas representa o PVI correto?
    d y/d t = k y (y - y_L), k > 0, y(0) = y_0
    d. dy/dt = k(y - yL), k > 0, y(0) = y0
    b { dy/dt = k*y*(yL - y), k > 0, y(0) = y0 }
    e. dy/dt = k * y * (yL - y)^2, k > 0, y(0) = y0
    c dy/dt = k(yl - y), k > 0, y(0) = y0
    f dy/dt = k * y^2 * (y - yL)^2, k > 0, y(0) = y0