Se , então a solução se aproxima de , quando . Se , então a solução se aproxima de , quando . Se , então , quando cresce.
b Se , então a solução se aproxima de , quando . Se , então a solução se aproxima de , quando . Se ou , então , quando cresce.
c Se , então a solução se aproxima de , quando . Se , então a solução se aproxima de , quando .
d , então a solução se aproxima de 0 , quando . Se , então a solução se aproxima de , quando . Se , então , quando cresce.
e , então a solução se aproxima de , quando . Se , então a solução se aproxima de 0 , quando . Se , então a solução se aproxima de , quando . Se , então , quando cresce.
f Se , então a solução se aproxima de 0 , quando . Se , então , quando cresce. Se , então a solução se aproxima de , quando .
Passo 1
Então, galera, aqui a gente tem um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. A nossa missão é entender como a solução dessa equação se comporta quando o tempo vai para o infinito, dependendo do valor inicial . Para resolver, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e analisar o comportamento das soluções com base nos pontos de equilíbrio.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos de equilíbrio da equação diferencial. Esses são os valores de onde . Olhando para a equação:
Para que , pelo menos um dos fatores deve ser zero. Então, resolvemos:
Fatorando:
Soluções: e
Usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, e
Então, temos pontos de equilíbrio em , , , e .
Passo 3
Agora, vamos analisar a estabilidade de cada ponto de equilíbrio para entender para onde as soluções se dirigem quando cresce.
Para : A derivada é negativa, então diminui, tendendo a .
Para : A derivada é negativa, levando a .
Para : A derivada é positiva, então aumenta, tendendo a .
Para : A derivada é negativa, fazendo diminuir sem limite, ou seja, tendendo a menos infinito.
Em e : São pontos de equilíbrio; as soluções permanecem nesses valores se iniciarem exatamente neles.
Passo 4
Com base nessa análise, vamos verificar as alternativas:
Alternativa a: Afirma que se , tende a ; se , tende a ; e se , tende a infinito. Isso está de acordo com nossa análise.
Alternativas b a f: A maioria tem diferenças sutis nas condições ou nos limites para onde tende. Contudo, a alternativa a corresponde exatamente ao que encontramos.