Considere a solução do problema de valor inicial
l d yd t=-(y^2+a2 y)(y^2-a2 y-a^22), para 0
Podemos afirmar que
  • Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se -a2, então a solução se aproxima de -a2, quando t +infty. Se y0<-a2, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    b Se -a2, então a solução se aproxima de -a2, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a2 ou y0>a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    c Se y0<0, então a solução se aproxima de -a2, quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty.
    d Se-a2, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a2, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    e Se-a2, então a solução se aproxima de -a2, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>a, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a2, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    f Se -a2, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0<-a2, então |y(t)| +infty, quando t cresce. Se y0>a, então a solução se aproxima de a, quando t +infty.

Passo 1

Então, galera, aqui a gente tem um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. A nossa missão é entender como a solução dessa equação se comporta quando o tempo vai para o infinito, dependendo do valor inicial . Para resolver, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e analisar o comportamento das soluções com base nos pontos de equilíbrio.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos de equilíbrio da equação diferencial. Esses são os valores de dydt = -(y^2+a2 y)(y^2-a2 y-a^22) onde y = a2 pm raiz(a2)^2 + 2a^22 = a2 pm raiza^24 + 2a^22 = a2 pm araiz922 = a2 pm 3a22 . Olhando para a equação:
Para que , pelo menos um dos fatores deve ser zero. Então, resolvemos:

  1. Fatorando:
    Soluções: e

  2. Usando a fórmula de Bhaskara:
    Assim, e
Então, temos pontos de equilíbrio em , , , e .

Passo 3

Agora, vamos analisar a estabilidade de cada ponto de equilíbrio para entender para onde as soluções se dirigem quando cresce.
  • Para : A derivada é negativa, então diminui, tendendo a .
  • Para : A derivada é negativa, levando a .
  • Para : A derivada é positiva, então aumenta, tendendo a .
  • Para : A derivada é negativa, fazendo diminuir sem limite, ou seja, tendendo a menos infinito.
  • Em e : São pontos de equilíbrio; as soluções permanecem nesses valores se iniciarem exatamente neles.

Passo 4

Com base nessa análise, vamos verificar as alternativas:
  • Alternativa a: Afirma que se , tende a ; se , tende a ; e se , tende a infinito. Isso está de acordo com nossa análise.
  • Alternativas b a f: A maioria tem diferenças sutis nas condições ou nos limites para onde tende. Contudo, a alternativa a corresponde exatamente ao que encontramos.

Resposta

A alternativa correta é a a.

Exercícios relacionados

Qual das alternativas representa a solução do problema de valor inicial dado a seguir?
cos(t) dy/dt - (3 cos(t) + sen(t)) y = t e^(3t), y(0) = -1
y(t) = (t^2 * e^(3t)) / (2 * cos(t)) - (e^(3t)) / (cos(t)).
d y(t) = (t * e^(3*t)) / (2 * cos(t)) - (e^(3*t)) / (cos(t)).
b y(t) = (t * e^(3t) * sen(t)) / cos(t) - (2 * e^(3t)) / cos(t) + e^(3t).
e) y(t) = (t^2 * e^(3*t)) / (2 * cos(t)) - 1.
C y = (e^(3t) sen(t))/cos(t) - (e^(3t))/cos(t).
f y(t) = (t^2 * e^(3 t) * sen(t)) / cos(t) - (2 * e^(3 t)) / cos(t) + e^(3 t).
Qual das alternativas representa a solução do problema de valor inicial dado a seguir?
cos(t) dy/dt + (3 cos(t) - sen(t)) y = t e^(-3 t), y(0) = -1
y(t) = (t^2 * e^(-3t)) / (2 * cos(t)) - (e^(-3t)) / (cos(t)).
d y(t) = (t * e^(-3 * t)) / (2 * cos(t)) - (e^(-3 * t)) / cos(t).
b y(t) = (t * e^(-3 * t) * sen(t)) / cos(t) - (2 * e^(-3 * t)) / cos(t) + e^(-3 * t).
e) y(t) = (t^2 e^(-3 t)) / (2 cos(t)) - 1.
C y = (e^(-3 t) * sen(t)) / cos(t) - (e^(-3 t)) / cos(t).
f y(t) = (t^2 * e^(-3t) * sen(t)) / cos(t) - (2 * e^(-3t)) / cos(t) + e^(-3t).
Considere a solução do problema de valor inicial
l d yd t=-(y^2-a2 y)(y^2+2 a y+a^2), para 0
Podemos afirmar que:
  • Se y0>0, então a solução se aproxima de a2, quando t +infty. Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    b Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de a2, quando t +infty. Se y0<-a ou y0>a2, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    c Se y0<0, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a2, quando t +infty.
    d Se -a, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a2, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    e Se-a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>a2, então a solução se aproxima de a2, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    f Se -a, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce. Se y0>a2, então a solução se aproxima de a2, quando t +infty.
Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
dy/dx = (x - 1 / 2) / (y(y - 1)(y + 2)) ; y((3 + raiz(3)) / 6) = -1 ?
Observação: raiz(3) aproximadamente 1.7, raiz(51) aproximadamente 7.1.
-1,2.
d ( (3 - raiz(51)) / 6 , 2 ).
b ( (3 - raiz(51)) / 6 , (3 + raiz(51)) / 6 ).
e ( (3 - raiz(51)) / 6 , +infinito ).
c (-1, (3 + raiz(51)) / 6).
f (-1, +infinito).