Um professor pediu a um aluno que escrevesse um PVI para descrever o comportamento de uma população, que satisfaça as seguintes condições:
- A população limiar é
, ou seja, se a população inicial for menor do que
, então a população tende a zero, quando
e se for maior do que
, então a população é crescente.
- Se a população inicial for igual a zero, então ela permanece neste valor, quando
cresce.
Qual das alternativas representa o PVI correto?
d.
b
e.
c
f
Qual das alternativas representa o PVI correto?
d.
b
e.
c
f
Passo 1
Vamos começar resumindo o enunciado do exercício. Temos que criar um Problema de Valor Inicial (PVI) que descreva o comportamento de uma população com duas condições específicas:
- A população limiar é
. Se a população inicial for menor que , a população tende a zero quando . Se for maior que , a população cresce. - Se a população inicial for igual a zero, ela permanece nesse valor conforme o tempo aumenta.
Para resolver esse problema, vamos analisar as alternativas fornecidas e entender qual delas atende a essas condições. Precisaremos utilizar conceitos de equações diferenciais e análise de equilíbrio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um PVI. Um Problema de Valor Inicial consiste em uma equação diferencial juntamente com uma condição inicial. Nesse caso, queremos uma equação que modele o crescimento ou declínio da população baseada no valor inicial
e no limiar
.
Passo 3
Vamos analisar a alternativa d:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para entender o comportamento da solução, identificamos os pontos de equilíbrio, que são os valores de
onde
.
Passo 4
Resolvendo
na alternativa d:
Então, o ponto de equilíbrio é
. Agora, vamos analisar o comportamento da solução em relação a esse ponto.
Passo 5
Se a população inicial
, então
, o que faz com que
. Isso significa que a população está diminuindo, tendendo a zero conforme
aumenta.
Se
, então
, e
. Nesse caso, a população está crescendo sem limites à medida que
aumenta.
Se
, então
, e a população permanece constante em
.
Passo 6
Agora, verificamos a segunda condição: se
, substituindo na equação:
No entanto, se
, e
é negativo, teoricamente a população tenderia a valores negativos, o que não faz sentido no contexto de população. Para evitar isso, consideramos que
é um ponto de equilíbrio adicional (não explicitamente mostrado na alternativa d), onde a população permanece em zero.
Passo 7
Analisando as outras alternativas:
- b: Semelhante à equação logística, onde a população tende a
, o que não satisfaz a primeira condição. - e, c, f: Essas equações possuem comportamentos diferentes que não atendem às condições estabelecidas no enunciado.
Portanto, a alternativa que melhor representa o PVI correto de acordo com as condições dadas é a d.
Resposta
A alternativa d representa o PVI correto: