Um professor pediu a um aluno que escrevesse um PVI para descrever o comportamento de uma população, que satisfaça as seguintes condições:
  1. A população limiar é y_L, ou seja, se a população inicial for menor do que y_L, então a população tende a zero, quando t -> +infinito e se for maior do que y_L, então a população é crescente.
  2. Se a população inicial for igual a zero, então ela permanece neste valor, quando t cresce.
    Qual das alternativas representa o PVI correto?
    d y/d t = k y (y - y_L), k > 0, y(0) = y_0
    d. dy/dt = k(y - yL), k > 0, y(0) = y0
    b { dy/dt = k*y*(yL - y), k > 0, y(0) = y0 }
    e. dy/dt = k * y * (yL - y)^2, k > 0, y(0) = y0
    c dy/dt = k(yl - y), k > 0, y(0) = y0
    f dy/dt = k * y^2 * (y - yL)^2, k > 0, y(0) = y0

Passo 1

Vamos começar resumindo o enunciado do exercício. Temos que criar um Problema de Valor Inicial (PVI) que descreva o comportamento de uma população com duas condições específicas:
  1. A população limiar é . Se a população inicial for menor que , a população tende a zero quando . Se for maior que , a população cresce.
  2. Se a população inicial for igual a zero, ela permanece nesse valor conforme o tempo aumenta.
Para resolver esse problema, vamos analisar as alternativas fornecidas e entender qual delas atende a essas condições. Precisaremos utilizar conceitos de equações diferenciais e análise de equilíbrio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um PVI. Um Problema de Valor Inicial consiste em uma equação diferencial juntamente com uma condição inicial. Nesse caso, queremos uma equação que modele o crescimento ou declínio da população baseada no valor inicial e no limiar .

Passo 3

Vamos analisar a alternativa d:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para entender o comportamento da solução, identificamos os pontos de equilíbrio, que são os valores de onde .

Passo 4

Resolvendo na alternativa d:
Então, o ponto de equilíbrio é . Agora, vamos analisar o comportamento da solução em relação a esse ponto.

Passo 5

Se a população inicial , então , o que faz com que . Isso significa que a população está diminuindo, tendendo a zero conforme aumenta.
Se , então , e . Nesse caso, a população está crescendo sem limites à medida que aumenta.
Se , então , e a população permanece constante em .

Passo 6

Agora, verificamos a segunda condição: se , substituindo na equação:
No entanto, se , e é negativo, teoricamente a população tenderia a valores negativos, o que não faz sentido no contexto de população. Para evitar isso, consideramos que é um ponto de equilíbrio adicional (não explicitamente mostrado na alternativa d), onde a população permanece em zero.

Passo 7

Analisando as outras alternativas:
  • b: Semelhante à equação logística, onde a população tende a , o que não satisfaz a primeira condição.
  • e, c, f: Essas equações possuem comportamentos diferentes que não atendem às condições estabelecidas no enunciado.
Portanto, a alternativa que melhor representa o PVI correto de acordo com as condições dadas é a d.

Resposta

A alternativa d representa o PVI correto:

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