Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
dy/dx = (x - 1/2) / (y(y - 1)(y + 2)) y((3 - raiz(3)) / 6) = -1
Observação: raiz(3) aproximadamente 1.7, raiz(51) aproximadamente 7.1.
-1,2.
d ( (3 - raiz(51)) / 6 , 2 ).
b ( (3 - raiz(51)) / 6 , (3 + raiz(51)) / 6 ).
e ( (3 - raiz(51)) / 6 , +infinito ).
c (-1, (3 + raiz(51)) / 6).
f (-1, +infinito).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o intervalo de validade da solução de um problema de valor inicial para uma equação diferencial. O conteúdo principal aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e, mais especificamente, entender onde a solução dessa EDO é válida. Para resolver, vamos precisar aplicar o Teorema de Existência e Unicidade, que nos ajuda a determinar onde a solução existe e é única.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação diferencial dada:
E o valor inicial fornecido é:
Aqui, a função que define a derivada, ou seja, o lado direito da equação diferencial, é:

Passo 3

Para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade, precisamos verificar onde a função e sua derivada parcial em relação a , , são contínuas. Essas condições garantem que a solução da EDO existe e é única nesse intervalo.
Vamos identificar os pontos onde pode não ser contínua. Observamos que o denominador pode se tornar zero, o que causa descontinuidade. Portanto, não é contínua para:

Passo 4

Sabendo onde a função não é contínua, precisamos garantir que a solução inicial esteja em um intervalo onde não atinge esses valores problemáticos. Ou seja, a solução será válida enquanto não se aproximar de 0, 1 ou -2.
Além disso, precisamos considerar o ponto inicial , que é aproximadamente 0,211. Queremos encontrar o intervalo ao redor desse onde a solução permanece válida.

Passo 5

Para determinar o intervalo exato, precisamos analisar como se comporta em relação a . A solução será válida no intervalo entre os pontos onde a solução alcança os valores que tornam descontínua.
Considerando que começa em -1, a solução continuará válida até que se aproxime de -2 ou de outro valor que cause descontinuidade. Observando as alternativas, o intervalo que contempla esse comportamento é:

Resposta

A alternativa correta é d .

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Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
dy/dx = (x - 1 / 2) / (y(y - 1)(y + 2)) ; y((3 + raiz(3)) / 6) = -1 ?
Observação: raiz(3) aproximadamente 1.7, raiz(51) aproximadamente 7.1.
-1,2.
d ( (3 - raiz(51)) / 6 , 2 ).
b ( (3 - raiz(51)) / 6 , (3 + raiz(51)) / 6 ).
e ( (3 - raiz(51)) / 6 , +infinito ).
c (-1, (3 + raiz(51)) / 6).
f (-1, +infinito).
Considere a solução do problema de valor inicial
l d yd t=-(y^2-a2 y)(y^2+2 a y+a^2), para 0
Podemos afirmar que:
  • Se y0>0, então a solução se aproxima de a2, quando t +infty. Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    b Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de a2, quando t +infty. Se y0<-a ou y0>a2, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    c Se y0<0, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a2, quando t +infty.
    d Se -a, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a2, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    e Se-a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>a2, então a solução se aproxima de a2, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    f Se -a, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce. Se y0>a2, então a solução se aproxima de a2, quando t +infty.
Um professor pediu a um aluno que escrevesse um PVI para descrever o comportamento de uma população, que satisfaça as seguintes condições:
  1. A população limiar é y_L, ou seja, se a população inicial for menor do que y_L, então a população tende a zero, quando t -> +infinito e se for maior do que y_L, então a população é crescente.
  2. Se a população inicial for igual a zero, então ela permanece neste valor, quando t cresce.
    Qual das alternativas representa o PVI correto?
    d y/d t = k y (y - y_L), k > 0, y(0) = y_0
    d. dy/dt = k(y - yL), k > 0, y(0) = y0
    b { dy/dt = k*y*(yL - y), k > 0, y(0) = y0 }
    e. dy/dt = k * y * (yL - y)^2, k > 0, y(0) = y0
    c dy/dt = k(yl - y), k > 0, y(0) = y0
    f dy/dt = k * y^2 * (y - yL)^2, k > 0, y(0) = y0
Qual das alternativas representa a solução do problema de valor inicial dado a seguir?
cos (2 t) d yd t-(4 cos (2 t)+2 sin (2 t)) y=t e^4 t, y(0)=-1 / 4
ll D y(t)=t^2 e^4 t2 cos (2 t)-e^4 t4 cos (2 t) & d y(t)=t e^4 t2 cos (2 t)-e^4 t4 cos (2 t) b y(t)=t e^4 t sin (2 t)2 cos (2 t)-e^4 t2 cos (2 t)+e^4 t4 & e y(t)=t^2 e^4 t2 cos (2 t)-14 c y=e^4 t sin (2 t)2 cos (2 t)-e^4 t4 cos (2 t) & f y(t)=t^2 e^4 t sin (2 t)cos (2 t)-e^4 t2 cos (2 t)+e^4 t4