Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
Observação: raiz(3) aproximadamente 1.7, raiz(51) aproximadamente 7.1. -1,2.
d ( (3 - raiz(51)) / 6 , 2 ).
b ( (3 - raiz(51)) / 6 , (3 + raiz(51)) / 6 ).
e ( (3 - raiz(51)) / 6 , +infinito ).
c (-1, (3 + raiz(51)) / 6).
f (-1, +infinito).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o intervalo de validade da solução de um problema de valor inicial para uma equação diferencial. O conteúdo principal aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e, mais especificamente, entender onde a solução dessa EDO é válida. Para resolver, vamos precisar aplicar o Teorema de Existência e Unicidade, que nos ajuda a determinar onde a solução existe e é única.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação diferencial dada:
E o valor inicial fornecido é:
Aqui, a função que define a derivada, ou seja, o lado direito da equação diferencial, é:
Passo 3
Para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade, precisamos verificar onde a função e sua derivada parcial em relação a , , são contínuas. Essas condições garantem que a solução da EDO existe e é única nesse intervalo.
Vamos identificar os pontos onde pode não ser contínua. Observamos que o denominador pode se tornar zero, o que causa descontinuidade. Portanto, não é contínua para:
Passo 4
Sabendo onde a função não é contínua, precisamos garantir que a solução inicial esteja em um intervalo onde não atinge esses valores problemáticos. Ou seja, a solução será válida enquanto não se aproximar de 0, 1 ou -2.
Além disso, precisamos considerar o ponto inicial , que é aproximadamente 0,211. Queremos encontrar o intervalo ao redor desse onde a solução permanece válida.
Passo 5
Para determinar o intervalo exato, precisamos analisar como se comporta em relação a . A solução será válida no intervalo entre os pontos onde a solução alcança os valores que tornam descontínua.
Considerando que começa em -1, a solução continuará válida até que se aproxime de -2 ou de outro valor que cause descontinuidade. Observando as alternativas, o intervalo que contempla esse comportamento é: