Qual das alternativas representa a solução do problema de valor inicial dado a seguir?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial que envolve funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem, como o fator integrante. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação diferencial na forma padrão:
Dividindo toda a equação original por
para isolar
:
Simplificando os termos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Calculando a integral de
:
A integral de
é:
Então,
Portanto, o fator integrante ��:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pela
:
Simplificando:
Isso acontece porque a equação fica na forma da derivada do produto.
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Integrando:
Passo 6
Isolando
:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Substituindo
:
Simplificando:
Então,
.
Passo 8
Substituindo
na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: