Qual das alternativas representa a solução do problema de valor inicial dado a seguir?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial que envolve funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem, como o fator integrante. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação diferencial na forma padrão:
Dividindo toda a equação original por para isolar :
Simplificando os termos:
Aqui, e .
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Calculando a integral de :
A integral de é:
Então,
Portanto, o fator integrante ��:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pela :
Simplificando:
Isso acontece porque a equação fica na forma da derivada do produto.
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
Integrando:
Passo 6
Isolando :
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar :