Qual das alternativas representa a solução do problema de valor inicial dado a seguir?
cos (2 t) d yd t-(4 cos (2 t)+2 sin (2 t)) y=t e^4 t, y(0)=-1 / 4
ll D y(t)=t^2 e^4 t2 cos (2 t)-e^4 t4 cos (2 t) & d y(t)=t e^4 t2 cos (2 t)-e^4 t4 cos (2 t) b y(t)=t e^4 t sin (2 t)2 cos (2 t)-e^4 t2 cos (2 t)+e^4 t4 & e y(t)=t^2 e^4 t2 cos (2 t)-14 c y=e^4 t sin (2 t)2 cos (2 t)-e^4 t4 cos (2 t) & f y(t)=t^2 e^4 t sin (2 t)cos (2 t)-e^4 t2 cos (2 t)+e^4 t4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial que envolve funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem, como o fator integrante. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação diferencial na forma padrão:
d yd t + P(t) y = Q(t)
Dividindo toda a equação original por cos(2t) para isolar d yd t:
d yd t - ( 4 cos(2t) + 2 sin(2t)cos(2t) ) y = t e^4tcos(2t)
Simplificando os termos:
d yd t - ( 4 + 2 tan(2t) ) y = t e^4t sec(2t)
Aqui, P(t) = -4 - 2 tan(2t) e Q(t) = t e^4t sec(2t).

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante mu(t), que é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt
Calculando a integral de P(t):
integral P(t) dt = integral ( -4 - 2 tan(2t) ) dt = -4t - integral 2 tan(2t) dt
A integral de tan(2t) é:
integral tan(2t) dt = -12 ln|cos(2t)| + C
Então,
integral P(t) dt = -4t + ln|cos(2t)| + C
Portanto, o fator integrante ��:
mu(t) = e^-4t cos(2t)

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pela mu(t):
e^-4t cos(2t) d yd t - (4 + 2 tan(2t)) e^-4t cos(2t) y = t e^4t sec(2t) e^-4t cos(2t)
Simplificando:
ddt( y cdot e^-4t cos(2t) ) = t
Isso acontece porque a equação fica na forma da derivada do produto.

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a t:
integral ddt( y cdot e^-4t cos(2t) ) dt = integral t dt
Integrando:
y cdot e^-4t cos(2t) = t^22 + C

Passo 6

Isolando y(t):
y(t) = ( t^22 + C ) e^4t sec(2t)
y(t) = t^2 e^4t2 cos(2t) + C e^4t sec(2t)

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial y(0) = -14 para encontrar C:
Substituindo t = 0:
-14 = 02 cos(0) + C e^0 sec(0)
Simplificando:
-14 = C cdot 1
Então, C = -14.

Passo 8

Substituindo C na expressão de y(t):
y(t) = t^2 e^4t2 cos(2t) - 14 e^4t sec(2t)
Simplificando:
y(t) = t^2 e^4t2 cos(2t) - e^4t4 cos(2t)

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = t^2 e^4 t2 cos (2 t) - e^4 t4 cos (2 t)

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