Qual das alternativas representa a solução do problema de valor inicial dado a seguir?
cos (2 t) d yd t-(4 cos (2 t)+2 sin (2 t)) y=t e^4 t, y(0)=-1 / 4
ll D y(t)=t^2 e^4 t2 cos (2 t)-e^4 t4 cos (2 t) & d y(t)=t e^4 t2 cos (2 t)-e^4 t4 cos (2 t) b y(t)=t e^4 t sin (2 t)2 cos (2 t)-e^4 t2 cos (2 t)+e^4 t4 & e y(t)=t^2 e^4 t2 cos (2 t)-14 c y=e^4 t sin (2 t)2 cos (2 t)-e^4 t4 cos (2 t) & f y(t)=t^2 e^4 t sin (2 t)cos (2 t)-e^4 t2 cos (2 t)+e^4 t4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial que envolve funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem, como o fator integrante. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação diferencial na forma padrão:
d yd t + P(t) y = Q(t)
Dividindo toda a equação original por cos(2t) para isolar d yd t:
d yd t - ( 4 cos(2t) + 2 sin(2t)cos(2t) ) y = t e^4tcos(2t)
Simplificando os termos:
d yd t - ( 4 + 2 tan(2t) ) y = t e^4t sec(2t)
Aqui, P(t) = -4 - 2 tan(2t) e Q(t) = t e^4t sec(2t).

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante mu(t), que é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt
Calculando a integral de P(t):
integral P(t) dt = integral ( -4 - 2 tan(2t) ) dt = -4t - integral 2 tan(2t) dt
A integral de tan(2t) é:
integral tan(2t) dt = -12 ln|cos(2t)| + C
Então,
integral P(t) dt = -4t + ln|cos(2t)| + C
Portanto, o fator integrante ��:
mu(t) = e^-4t cos(2t)

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pela mu(t):
e^-4t cos(2t) d yd t - (4 + 2 tan(2t)) e^-4t cos(2t) y = t e^4t sec(2t) e^-4t cos(2t)
Simplificando:
ddt( y cdot e^-4t cos(2t) ) = t
Isso acontece porque a equação fica na forma da derivada do produto.

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a t:
integral ddt( y cdot e^-4t cos(2t) ) dt = integral t dt
Integrando:
y cdot e^-4t cos(2t) = t^22 + C

Passo 6

Isolando y(t):
y(t) = ( t^22 + C ) e^4t sec(2t)
y(t) = t^2 e^4t2 cos(2t) + C e^4t sec(2t)

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial y(0) = -14 para encontrar C:
Substituindo t = 0:
-14 = 02 cos(0) + C e^0 sec(0)
Simplificando:
-14 = C cdot 1
Então, C = -14.

Passo 8

Substituindo C na expressão de y(t):
y(t) = t^2 e^4t2 cos(2t) - 14 e^4t sec(2t)
Simplificando:
y(t) = t^2 e^4t2 cos(2t) - e^4t4 cos(2t)

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = t^2 e^4 t2 cos (2 t) - e^4 t4 cos (2 t)

Exercícios relacionados

Um professor pediu a um aluno que escrevesse um PVI para descrever o comportamento de uma população, que satisfaça as seguintes condições:
  1. A população limiar é y_L, ou seja, se a população inicial for menor do que y_L, então a população tende a zero, quando t -> +infinito e se for maior do que y_L, então a população é crescente.
  2. Se a população inicial for igual a zero, então ela permanece neste valor, quando t cresce.
    Qual das alternativas representa o PVI correto?
    d y/d t = k y (y - y_L), k > 0, y(0) = y_0
    d. dy/dt = k(y - yL), k > 0, y(0) = y0
    b { dy/dt = k*y*(yL - y), k > 0, y(0) = y0 }
    e. dy/dt = k * y * (yL - y)^2, k > 0, y(0) = y0
    c dy/dt = k(yl - y), k > 0, y(0) = y0
    f dy/dt = k * y^2 * (y - yL)^2, k > 0, y(0) = y0
Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
dy/dx = (x - 1/2) / (y(y - 1)(y + 2)) y((3 - raiz(3)) / 6) = -1
Observação: raiz(3) aproximadamente 1.7, raiz(51) aproximadamente 7.1.
-1,2.
d ( (3 - raiz(51)) / 6 , 2 ).
b ( (3 - raiz(51)) / 6 , (3 + raiz(51)) / 6 ).
e ( (3 - raiz(51)) / 6 , +infinito ).
c (-1, (3 + raiz(51)) / 6).
f (-1, +infinito).
Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial dado abaixo?
dy/dx = (x + 2) / (2 * (y^3 - y)) y(-3/4) = 1/2
Observação: raiz(2) ≈ 1.4.
(-1, -2 + raiz(2)). d (-2 - raiz(2), +infinito).
b (-3, -2 + raiz(2)). e (-3, +infinito).
c (-2 - raiz(2), -2 + raiz(2)). f (-1, +infinito).
Calcule as integrais usando coordenadas esféricas: integral triplaE(x^2+y^2+z^2)^5 / 2 d V, onde E é a esfera unitária.