Qual das alternativas representa a solução do problema de valor inicial dado a seguir?
.
d
.
b
.
e)
.
C
.
f
.
d
b
e)
C
f
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial:
Esse problema pertence ao estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolvê-lo, vamos precisar rearranjar a equação na forma padrão e aplicar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Para isso, dividimos toda a equação original por
:
Aqui, identificamos que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Calculando a integral de
:
Desconsiderando a constante de integração
, temos:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante
:
Simplificando, o lado esquerdo se torna a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados com relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolando
:
Aplicando a condição inicial
:
Portanto,
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Isso corresponde à opção a).
Exercícios relacionados
Qual das alternativas representa a solução do problema de valor inicial dado a seguir?
d
b
e)
C
f
Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
Observação:
.
.
d .
b .
e .
c .
f .
d
b
e
c
f
Considere a solução do problema de valor inicial
Podemos afirmar que
- Se
, então a solução se aproxima de , quando . Se , então a solução se aproxima de , quando . Se , então , quando cresce.
b Se, então a solução se aproxima de , quando . Se , então a solução se aproxima de , quando . Se ou , então , quando cresce.
c Se, então a solução se aproxima de , quando . Se , então a solução se aproxima de , quando .
d, então a solução se aproxima de 0 , quando . Se , então a solução se aproxima de , quando . Se , então , quando cresce.
e, então a solução se aproxima de , quando . Se , então a solução se aproxima de 0 , quando . Se , então a solução se aproxima de , quando . Se , então , quando cresce.
f Se, então a solução se aproxima de 0 , quando . Se , então , quando cresce. Se , então a solução se aproxima de , quando .
Considere a solução do problema de valor inicial
Podemos afirmar que:
- Se
, então a solução se aproxima de , quando . Se , então a solução se aproxima de , quando . Se , então , quando cresce.
b Se, então a solução se aproxima de , quando . Se , então a solução se aproxima de , quando . Se ou , então , quando cresce.
c Se, então a solução se aproxima de , quando . Se , então a solução se aproxima de , quando .
d Se, então a solução se aproxima de 0 , quando . Se , então a solução se aproxima de , quando . Se , então , quando cresce.
e, então a solução se aproxima de , quando . Se , então a solução se aproxima de 0 , quando . Se , então a solução se aproxima de , quando . Se , então , quando cresce.
f Se, então a solução se aproxima de 0 , quando . Se , então , quando cresce. Se , então a solução se aproxima de , quando .