Qual das alternativas representa a solução do problema de valor inicial dado a seguir?
cos(t) dy/dt - (3 cos(t) + sen(t)) y = t e^(3t), y(0) = -1
y(t) = (t^2 * e^(3t)) / (2 * cos(t)) - (e^(3t)) / (cos(t)).
d y(t) = (t * e^(3*t)) / (2 * cos(t)) - (e^(3*t)) / (cos(t)).
b y(t) = (t * e^(3t) * sen(t)) / cos(t) - (2 * e^(3t)) / cos(t) + e^(3t).
e) y(t) = (t^2 * e^(3*t)) / (2 * cos(t)) - 1.
C y = (e^(3t) sen(t))/cos(t) - (e^(3t))/cos(t).
f y(t) = (t^2 * e^(3 t) * sen(t)) / cos(t) - (2 * e^(3 t)) / cos(t) + e^(3 t).

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial:
Esse problema pertence ao estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolvê-lo, vamos precisar rearranjar a equação na forma padrão e aplicar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Para isso, dividimos toda a equação original por :
Aqui, identificamos que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Calculando a integral de P(t):
Desconsiderando a constante de integração C, temos:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante :
Simplificando, o lado esquerdo se torna a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados com relação a t:
Isso resulta em:
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolando y(t):
Aplicando a condição inicial :
Portanto,

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
Isso corresponde à opção a).

Exercícios relacionados

Qual das alternativas representa a solução do problema de valor inicial dado a seguir?
cos(t) dy/dt + (3 cos(t) - sen(t)) y = t e^(-3 t), y(0) = -1
y(t) = (t^2 * e^(-3t)) / (2 * cos(t)) - (e^(-3t)) / (cos(t)).
d y(t) = (t * e^(-3 * t)) / (2 * cos(t)) - (e^(-3 * t)) / cos(t).
b y(t) = (t * e^(-3 * t) * sen(t)) / cos(t) - (2 * e^(-3 * t)) / cos(t) + e^(-3 * t).
e) y(t) = (t^2 e^(-3 t)) / (2 cos(t)) - 1.
C y = (e^(-3 t) * sen(t)) / cos(t) - (e^(-3 t)) / cos(t).
f y(t) = (t^2 * e^(-3t) * sen(t)) / cos(t) - (2 * e^(-3t)) / cos(t) + e^(-3t).
Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
dy/dx = -(x - 1) / (y(y + 1)(y - 2)) y(1 + raiz(31 / 6)) = 1
Observação: raiz(31 / 6) aproximadamente 2.3,5 raiz(3) / 3 aproximadamente 2.9, raiz(3) aproximadamente 1.7, raiz(23 / 6) aproximadamente 2.0.
squared(1 + raiz(3), 1 + 5 * (raiz(3) / 3)).
d (1 + raiz(23 / 6), 1 + 5 * raiz(3) / 3).
b (1 - 5 raiz(3)/3, 1 + 5 raiz(3)/3).
e (1 - raiz(3), +infinito).
c (1 - raiz(3), 1 + 5 * (raiz(3) / 3)).
f (1 + raiz(3), +infinito).
Considere a solução do problema de valor inicial
l d yd t=-(y^2+a2 y)(y^2-a2 y-a^22), para 0
Podemos afirmar que
  • Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se -a2, então a solução se aproxima de -a2, quando t +infty. Se y0<-a2, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    b Se -a2, então a solução se aproxima de -a2, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a2 ou y0>a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    c Se y0<0, então a solução se aproxima de -a2, quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty.
    d Se-a2, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a2, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    e Se-a2, então a solução se aproxima de -a2, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>a, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a2, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    f Se -a2, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0<-a2, então |y(t)| +infty, quando t cresce. Se y0>a, então a solução se aproxima de a, quando t +infty.
Considere a solução do problema de valor inicial
l d yd t=-(y^2-a2 y)(y^2+2 a y+a^2), para 0
Podemos afirmar que:
  • Se y0>0, então a solução se aproxima de a2, quando t +infty. Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    b Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de a2, quando t +infty. Se y0<-a ou y0>a2, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    c Se y0<0, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a2, quando t +infty.
    d Se -a, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a2, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    e Se-a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>a2, então a solução se aproxima de a2, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    f Se -a, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce. Se y0>a2, então a solução se aproxima de a2, quando t +infty.