Qual das alternativas representa a solução do problema de valor inicial dado a seguir?
cos(t) dy/dt + (3 cos(t) - sen(t)) y = t e^(-3 t), y(0) = -1
y(t) = (t^2 * e^(-3t)) / (2 * cos(t)) - (e^(-3t)) / (cos(t)).
d y(t) = (t * e^(-3 * t)) / (2 * cos(t)) - (e^(-3 * t)) / cos(t).
b y(t) = (t * e^(-3 * t) * sen(t)) / cos(t) - (2 * e^(-3 * t)) / cos(t) + e^(-3 * t).
e) y(t) = (t^2 e^(-3 t)) / (2 cos(t)) - 1.
C y = (e^(-3 t) * sen(t)) / cos(t) - (e^(-3 t)) / cos(t).
f y(t) = (t^2 * e^(-3t) * sen(t)) / cos(t) - (2 * e^(-3t)) / cos(t) + e^(-3t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial com condição inicial. Estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem, e precisamos encontrar a função que satisfaz a equação fornecida e a condição .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação dada:
Para resolver essa EDO, vamos simplificá-la dividindo tudo por , assumindo que :
Aqui, identificamos que é uma equação linear da forma , onde:

Passo 3

Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular a integral:
Ignoramos a constante de integração para o fator integrante. Assim,

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Isso ocorre porque o lado esquerdo se torna a derivada do produto .

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvemos para :
Simplificando a notação:

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Portanto, .

Passo 8

Substituímos de volta na expressão para :
Podemos escrever de forma mais organizada:

Resposta

A solução correta é:

Exercícios relacionados

Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
dy/dx = -(x - 1) / (y(y + 1)(y - 2)) y(1 + raiz(31 / 6)) = 1
Observação: raiz(31 / 6) aproximadamente 2.3,5 raiz(3) / 3 aproximadamente 2.9, raiz(3) aproximadamente 1.7, raiz(23 / 6) aproximadamente 2.0.
squared(1 + raiz(3), 1 + 5 * (raiz(3) / 3)).
d (1 + raiz(23 / 6), 1 + 5 * raiz(3) / 3).
b (1 - 5 raiz(3)/3, 1 + 5 raiz(3)/3).
e (1 - raiz(3), +infinito).
c (1 - raiz(3), 1 + 5 * (raiz(3) / 3)).
f (1 + raiz(3), +infinito).
Considere a solução do problema de valor inicial
l d yd t=-y(y+a)(y^2-a^2), para a>10^4 y(t0)=y0
Podemos afirmar que:
square Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
b Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a ou y0>a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
c Se y0<0, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty.
d Se-a, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
e Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>a, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
f Se y0<0, então |y(t)| +infty, quando t cresce. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty.
Qual das alternativas representa a solução do problema de valor inicial dado a seguir?
cos(t) dy/dt - (3 cos(t) + sen(t)) y = t e^(3t), y(0) = -1
y(t) = (t^2 * e^(3t)) / (2 * cos(t)) - (e^(3t)) / (cos(t)).
d y(t) = (t * e^(3*t)) / (2 * cos(t)) - (e^(3*t)) / (cos(t)).
b y(t) = (t * e^(3t) * sen(t)) / cos(t) - (2 * e^(3t)) / cos(t) + e^(3t).
e) y(t) = (t^2 * e^(3*t)) / (2 * cos(t)) - 1.
C y = (e^(3t) sen(t))/cos(t) - (e^(3t))/cos(t).
f y(t) = (t^2 * e^(3 t) * sen(t)) / cos(t) - (2 * e^(3 t)) / cos(t) + e^(3 t).
Considere a solução do problema de valor inicial
l d yd t=-(y^2+a2 y)(y^2-a2 y-a^22), para 0
Podemos afirmar que
  • Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se -a2, então a solução se aproxima de -a2, quando t +infty. Se y0<-a2, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    b Se -a2, então a solução se aproxima de -a2, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a2 ou y0>a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    c Se y0<0, então a solução se aproxima de -a2, quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty.
    d Se-a2, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a2, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    e Se-a2, então a solução se aproxima de -a2, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>a, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a2, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    f Se -a2, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0<-a2, então |y(t)| +infty, quando t cresce. Se y0>a, então a solução se aproxima de a, quando t +infty.