Qual das alternativas representa a solução do problema de valor inicial dado a seguir?
.
d
.
b
.
e)
.
C
.
f
.
d
b
e)
C
f
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial com condição inicial. Estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem, e precisamos encontrar a função
que satisfaz a equação fornecida e a condição
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação dada:
Para resolver essa EDO, vamos simplificá-la dividindo tudo por
, assumindo que
:
Aqui, identificamos que é uma equação linear da forma
, onde:
Passo 3
Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Vamos calcular a integral:
Ignoramos a constante de integração
para o fator integrante. Assim,
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Isso ocorre porque o lado esquerdo se torna a derivada do produto
.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvemos para
:
Simplificando a notação:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Portanto,
.
Passo 8
Substituímos
de volta na expressão para
:
Podemos escrever de forma mais organizada:
Resposta
A solução correta é:
Exercícios relacionados
Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
Observação:
.
.
d .
b .
e .
c .
f .
d
b
e
c
f
Considere a solução do problema de valor inicial
Podemos afirmar que:
Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então
, quando
cresce.
b Se , então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
ou
, então
, quando
cresce.
c Se , então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
.
d , então a solução se aproxima de 0 , quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então
, quando
cresce.
e Se , então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de 0 , quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então
, quando
cresce.
f Se , então
, quando
cresce. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
.
b Se
c Se
d
e Se
f Se
Qual das alternativas representa a solução do problema de valor inicial dado a seguir?
d
b
e)
C
f
Considere a solução do problema de valor inicial
Podemos afirmar que
- Se
, então a solução se aproxima de , quando . Se , então a solução se aproxima de , quando . Se , então , quando cresce.
b Se, então a solução se aproxima de , quando . Se , então a solução se aproxima de , quando . Se ou , então , quando cresce.
c Se, então a solução se aproxima de , quando . Se , então a solução se aproxima de , quando .
d, então a solução se aproxima de 0 , quando . Se , então a solução se aproxima de , quando . Se , então , quando cresce.
e, então a solução se aproxima de , quando . Se , então a solução se aproxima de 0 , quando . Se , então a solução se aproxima de , quando . Se , então , quando cresce.
f Se, então a solução se aproxima de 0 , quando . Se , então , quando cresce. Se , então a solução se aproxima de , quando .