Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
Observação:
.
.
d
.
b
.
e
.
c
.
f
.
d
b
e
c
f
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem. Nosso objetivo é encontrar o intervalo de validade da solução desse problema. Para isso, vamos precisar separar as variáveis, integrar e analisar onde nossa solução é válida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação diferencial que nos foi dada:
E o valor inicial fornecido é:
Isso significa que quando
,
.
Passo 3
Para resolver essa EDO, vamos separar as variáveis
e
. Isso significa rearranjar a equação para que todos os termos envolvendo
fiquem de um lado e os termos envolvendo
fiquem do outro lado:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
Primeiro, vamos expandir o lado esquerdo:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular as integrais:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Podemos combinar as constantes de integração em um único
, então temos:
Passo 6
Agora, vamos usar o valor inicial para encontrar a constante
. Sabemos que quando
,
. Substituindo na equação:
Calculando o lado esquerdo:
Do lado direito, vamos simplificar:
Para simplificar, após os cálculos, encontramos
. Então, a equação geral da solução é:
Passo 7
Para encontrar o intervalo de validade, precisamos analisar onde a solução está definida. Observamos os termos no denominador da EDO original:
Esses termos indicam que a solução não é válida quando
,
ou
porque esses valores tornam o denominador zero, o que não é permitido (indefinido).
Além disso, a existência e unicidade da solução dependem da aplicação do Teorema de Picard-Lindelöf, que exige que a função seja contínua e tenha derivada contínua no intervalo considerado. Portanto, devemos evitar esses pontos onde a função não é definida.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é válida no intervalo
. Portanto, a alternativa correta é a c.
Exercícios relacionados
Considere a solução do problema de valor inicial
Podemos afirmar que:
Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então
, quando
cresce.
b Se , então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
ou
, então
, quando
cresce.
c Se , então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
.
d , então a solução se aproxima de 0 , quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então
, quando
cresce.
e Se , então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de 0 , quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então
, quando
cresce.
f Se , então
, quando
cresce. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
.
b Se
c Se
d
e Se
f Se
Qual das alternativas representa a solução geral da equação diferencial
d
b
(e)
c
f]
Qual das alternativas representa a solução do problema de valor inicial dado a seguir?
d
b
e)
C
f
Qual das alternativas representa a solução do problema de valor inicial dado a seguir?
d
b
e)
C
f