Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
dy/dx = -(x - 1) / (y(y + 1)(y - 2)) y(1 + raiz(31 / 6)) = 1
Observação: raiz(31 / 6) aproximadamente 2.3,5 raiz(3) / 3 aproximadamente 2.9, raiz(3) aproximadamente 1.7, raiz(23 / 6) aproximadamente 2.0.
squared(1 + raiz(3), 1 + 5 * (raiz(3) / 3)).
d (1 + raiz(23 / 6), 1 + 5 * raiz(3) / 3).
b (1 - 5 raiz(3)/3, 1 + 5 raiz(3)/3).
e (1 - raiz(3), +infinito).
c (1 - raiz(3), 1 + 5 * (raiz(3) / 3)).
f (1 + raiz(3), +infinito).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem. Nosso objetivo é encontrar o intervalo de validade da solução desse problema. Para isso, vamos precisar separar as variáveis, integrar e analisar onde nossa solução é válida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação diferencial que nos foi dada:
E o valor inicial fornecido é:
Isso significa que quando , .

Passo 3

Para resolver essa EDO, vamos separar as variáveis e . Isso significa rearranjar a equação para que todos os termos envolvendo fiquem de um lado e os termos envolvendo fiquem do outro lado:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
Primeiro, vamos expandir o lado esquerdo:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos calcular as integrais:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Podemos combinar as constantes de integração em um único , então temos:

Passo 6

Agora, vamos usar o valor inicial para encontrar a constante . Sabemos que quando , . Substituindo na equação:
Calculando o lado esquerdo:
Do lado direito, vamos simplificar:
Para simplificar, após os cálculos, encontramos . Então, a equação geral da solução é:

Passo 7

Para encontrar o intervalo de validade, precisamos analisar onde a solução está definida. Observamos os termos no denominador da EDO original:
Esses termos indicam que a solução não é válida quando , ou porque esses valores tornam o denominador zero, o que não é permitido (indefinido).
Além disso, a existência e unicidade da solução dependem da aplicação do Teorema de Picard-Lindelöf, que exige que a função seja contínua e tenha derivada contínua no intervalo considerado. Portanto, devemos evitar esses pontos onde a função não é definida.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é válida no intervalo . Portanto, a alternativa correta é a c.

Exercícios relacionados

Considere a solução do problema de valor inicial
l d yd t=-y(y+a)(y^2-a^2), para a>10^4 y(t0)=y0
Podemos afirmar que:
square Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
b Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a ou y0>a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
c Se y0<0, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty.
d Se-a, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
e Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>a, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
f Se y0<0, então |y(t)| +infty, quando t cresce. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty.
Qual das alternativas representa a solução geral da equação diferencial
1/4 dy/dt + (-3/4 + 1/t) y = t e^(3t)
y(t) = (2 t^2 / 3) e^(3 t) + c (e^(3 t) / t^4).
d y(t) = (2 t^2 / 3) e^(3 t) + c.
b y(t) = (4t/9 + 128/(729t) - 32/81) e^(3t) + c e^(3t/4)/t.
(e) y(t) = (4t/9 + 128/(729t) - 32/81) e^(3t) + c e^(3t)/t^4.
c y(t) = (4/(3 t^3) - 4/(9 t^4)) e^(-6 t) + c e^(3 t)/t^4.
f] y(t) = (2 * t^2) / 3 * e^(3 * t).
Qual das alternativas representa a solução do problema de valor inicial dado a seguir?
cos(t) dy/dt + (3 cos(t) - sen(t)) y = t e^(-3 t), y(0) = -1
y(t) = (t^2 * e^(-3t)) / (2 * cos(t)) - (e^(-3t)) / (cos(t)).
d y(t) = (t * e^(-3 * t)) / (2 * cos(t)) - (e^(-3 * t)) / cos(t).
b y(t) = (t * e^(-3 * t) * sen(t)) / cos(t) - (2 * e^(-3 * t)) / cos(t) + e^(-3 * t).
e) y(t) = (t^2 e^(-3 t)) / (2 cos(t)) - 1.
C y = (e^(-3 t) * sen(t)) / cos(t) - (e^(-3 t)) / cos(t).
f y(t) = (t^2 * e^(-3t) * sen(t)) / cos(t) - (2 * e^(-3t)) / cos(t) + e^(-3t).
Qual das alternativas representa a solução do problema de valor inicial dado a seguir?
cos(t) dy/dt - (3 cos(t) + sen(t)) y = t e^(3t), y(0) = -1
y(t) = (t^2 * e^(3t)) / (2 * cos(t)) - (e^(3t)) / (cos(t)).
d y(t) = (t * e^(3*t)) / (2 * cos(t)) - (e^(3*t)) / (cos(t)).
b y(t) = (t * e^(3t) * sen(t)) / cos(t) - (2 * e^(3t)) / cos(t) + e^(3t).
e) y(t) = (t^2 * e^(3*t)) / (2 * cos(t)) - 1.
C y = (e^(3t) sen(t))/cos(t) - (e^(3t))/cos(t).
f y(t) = (t^2 * e^(3 t) * sen(t)) / cos(t) - (2 * e^(3 t)) / cos(t) + e^(3 t).