Do alto de uma encosta, situada a 220 m de altura, é lançado um projétil com uma velocidade de
segundo uma direção que forma
com a horizontal. Desprezando a resistência do ar e adotando
, determine:
As funções da posição do projétil
e
As funções da posição do projétil
Passo 1
Então, a gente tem um problema de movimento de projétil. Um objeto está sendo lançado do alto de uma encosta que tem 220 metros de altura. A velocidade inicial do projétil é de 200 metros por segundo e ele é lançado formando um ângulo de 30 graus com a horizontal. Queremos descobrir as funções que descrevem a posição do projétil em relação ao tempo, ou seja,
e
. Para resolver isso, vamos usar as equações do movimento projetil sem considerar a resistência do ar.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no movimento horizontal do projétil. Na horizontal, não tem aceleração porque a gente está desprezando o atrito do ar. Então, a posição horizontal
depende apenas da velocidade inicial na direção horizontal e do tempo. A fórmula que usamos é:
Onde
é a componente da velocidade inicial na horizontal. Para encontrar
, a gente usa o cosseno do ângulo de lançamento:
Sabendo que
:
Então, a função da posição horizontal fica:
Passo 3
Agora, vamos olhar para o movimento vertical. Na vertical, a posição
do projétil depende da altura inicial, da velocidade inicial na vertical e da aceleração da gravidade. A fórmula que usamos é:
Onde:
-
é a altura inicial (220 metros) -
é a componente da velocidade inicial na vertical -
é a aceleração da gravidade (10 m/s²)
Primeiro, vamos encontrar
usando o seno do ângulo de lançamento:
Sabendo que
:
Agora, substituindo tudo na fórmula de
:
Resposta
As funções que descrevem a posição do projétil em relação ao tempo são: