Do alto de uma encosta, situada a 220 m de altura, é lançado um projétil com uma velocidade de 200 m / s segundo uma direção que forma 30^circ com a horizontal. Desprezando a resistência do ar e adotando g=10 m / s^2, determine:
As funções da posição do projétil x(t) e y(t)

Passo 1

Então, a gente tem um problema de movimento de projétil. Um objeto está sendo lançado do alto de uma encosta que tem 220 metros de altura. A velocidade inicial do projétil é de 200 metros por segundo e ele é lançado formando um ângulo de 30 graus com a horizontal. Queremos descobrir as funções que descrevem a posição do projétil em relação ao tempo, ou seja, e . Para resolver isso, vamos usar as equações do movimento projetil sem considerar a resistência do ar.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no movimento horizontal do projétil. Na horizontal, não tem aceleração porque a gente está desprezando o atrito do ar. Então, a posição horizontal x(t) = v0x cdot t depende apenas da velocidade inicial na direção horizontal e do tempo. A fórmula que usamos é:
v0x = v0 cdot cos(theta) = 200 , m/s cdot cos(30^circ)
Onde v0x approx 200 , m/s cdot 0,866 = 173,2 , m/s é a componente da velocidade inicial na horizontal. Para encontrar x(t) = 173,2 , m/s cdot t , a gente usa o cosseno do ângulo de lançamento:
Sabendo que :
Então, a função da posição horizontal fica:

Passo 3

Agora, vamos olhar para o movimento vertical. Na vertical, a posição y(t) = y0 + v0y cdot t - 12 g t^2 do projétil depende da altura inicial, da velocidade inicial na vertical e da aceleração da gravidade. A fórmula que usamos é:
v0y = v0 cdot sin(theta) = 200 , m/s cdot sin(30^circ)
Onde:
  • v0y = 200 , m/s cdot 0,5 = 100 , m/s é a altura inicial (220 metros)
  • y(t) = 220 , m + 100 , m/s cdot t - 12 cdot 10 , m/s^2 cdot t^2 é a componente da velocidade inicial na vertical
  • y(t) = 220 + 100t - 5t^2 é a aceleração da gravidade (10 m/s²)
Primeiro, vamos encontrar usando o seno do ângulo de lançamento:
Sabendo que :
Agora, substituindo tudo na fórmula de :

Resposta

As funções que descrevem a posição do projétil em relação ao tempo são:
x(t) = 173,2 , t (em metros)
y(t) = 220 + 100 , t - 5 , t^2 (em metros)

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