Do alto de um prédio de altura
, uma pedra é lançada horizontalmente com velocidade
(a) após quanto tempo o vetor velocidade formará um ângulo de
com a horizontal (b) se a altura
é conhecida, qual o alcance da pedra até atingir o solo © com que velocidade a pedra atinge o solo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre lançar uma pedra horizontalmente do alto de um prédio com velocidade inicial $ v_{0} $ e altura $ h $. A gente vai usar conceitos de cinemática, especificamente de movimento uniforme horizontal e movimento uniformemente variado na vertical. Precisamos calcular três coisas:
a) O tempo até que o vetor velocidade forme um ângulo de $ \pi/4 $ com a horizontal.
b) O alcance horizontal da pedra até atingir o solo, sabendo a altura $ h $.
c) A velocidade com que a pedra atinge o solo.
Passo 2
Vamos começar com a parte a): Queremos saber depois de quanto tempo o vetor velocidade da pedra fará um ângulo de $ \pi/4 $ com a horizontal.
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade da pedra tem duas componentes:
- Horizontal ($ v_{x} $): Como não há aceleração nessa direção, $ v_{x} = v_{0} $.
- Vertical ($ v_{y} $): A pedra está sendo acelerada pela gravidade, então $ v_{y} = g \cdot t $, onde $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,8 , m/s² $).
O ângulo $ \theta $ que o vetor velocidade faz com a horizontal é dado por:
Queremos que $ \theta = \frac{\pi}{4} $, e sabemos que $ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $. Então:
Passo 3
Agora, vamos para a parte b): Precisamos encontrar o alcance horizontal da pedra até que ela atinja o solo, sabendo a altura $ h $.
Primeiro, vamos encontrar o tempo total de queda da pedra. A queda ocorre no movimento vertical com a equação:
Resolvendo para $ t $:
Esse é o tempo que a pedra leva para atingir o solo.
Agora, o alcance horizontal ($ R $) é dado pela velocidade horizontal multiplicada pelo tempo de queda:
Passo 4
Finalmente, vamos resolver a parte c): Queremos saber com que velocidade a pedra atinge o solo.
A velocidade total ($ v $) da pedra no momento do impacto é a combinação das componentes horizontal e vertical:
Sabemos que:
Então:
Resposta
a) O tempo até que o vetor velocidade forme um ângulo de $ \pi/4 $ é $ t = \frac{v_{0}}{g} $.
b) O alcance horizontal da pedra é $ R = v_{0} \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}} $.
c) A velocidade com que a pedra atinge o solo é $ v = \sqrt{v_{0}^{2} + 2gh} $.