Um projétil é disparado de tal forma que seu alcance é 3 vezes a sua altura máxima.
(a) Qual o ângulo de lançamento (b) o que acontece com a relação do alcance e altura máxima se sua velocidade inicial é aumentada 3 vezes © qual seria o alcance máximo se sua velocidade inicial é v0=100 m / s

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um projétil que tem seu alcance 3 vezes a sua altura máxima. A gente vai trabalhar com os conceitos de movimento em duas dimensões, especificamente com as fórmulas de alcance e altura máxima de um projétil. Vamos precisar das fórmulas:
  • Alcance ®: $ R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} $
  • Altura Máxima (H): $ H = \frac{v_0^2 \sin^2(\theta)}{2g} $
Onde:
  • $ v_0 $ é a velocidade inicial,
  • $ \theta $ é o ângulo de lançamento,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (≈9,8 m/s²).

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a): encontrar o ângulo $ \theta $ que faz com que o alcance seja 3 vezes a altura máxima, ou seja, $ R = 3H $.
Vamos igualar as duas expressões:
theta

Passo 3

Agora, vamos simplificar a equação:
v0^2 sin(2theta)g = 3v0^2 sin^2(theta)2g
Podemos cancelar $ \frac{v_0^2}{g} $ de ambos os lados:
v0^2g

Passo 4

Lembrando que $ \sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta) $, substituímos:
sin(2theta) = 2 sin(theta) cos(theta)
Dividindo ambos os lados por $ \sin(\theta) $ (considerando $ \sin(\theta) \neq 0 $):
2 sin(theta) cos(theta) = 32 sin^2(theta)

Passo 5

Agora, isolamos $ \tan(\theta) $:
tan(theta)
Dividindo ambos os lados por $ \cos(\theta) $:
2 cos(theta) = 32 sin(theta)
Multiplicando ambos os lados por $ \frac{2}{3} $:
cos(theta)

Passo 6

Agora, calculamos $ \theta $:
theta
Usando uma calculadora:
theta = arctan(43)

Passo 7

Vamos para a parte (b): o que acontece com a relação entre alcance e altura máxima se a velocidade inicial é aumentada 3 vezes, ou seja, $ v_0’ = 3v_0 $.
Vamos analisar as fórmulas:
  • Alcance com $ v_0’ $: $ R’ = \frac{(3v_0)^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{9v_0^2 \sin(2\theta)}{g} = 9R $
  • Altura máxima com $ v_0’ $: $ H’ = \frac{(3v_0)^2 \sin^2(\theta)}{2g} = \frac{9v_0^2 \sin^2(\theta)}{2g} = 9H $
Então, a relação $ R’ = 9R $ e $ H’ = 9H $. Logo, a relação entre alcance e altura máxima continua a mesma, ou seja, $ R’ = 3H’ $.

Passo 8

Por fim, a parte ©: qual seria o alcance máximo se a velocidade inicial é $ v_{0} = 100 , \mathrm{m/s} $.
Usando a fórmula do alcance:
v0 = 100 , m/s
Sabemos que $ \theta \approx 53,13^\circ $, então $ \sin(2\theta) = \sin(106,26^\circ) \approx 0,9613 $.
Substituindo os valores:
R = v0^2 sin(2theta)g

Resposta

(a) O ângulo de lançamento é aproximadamente $ 53,13^\circ $.
(b) Se a velocidade inicial for aumentada 3 vezes, a relação entre o alcance e a altura máxima permanece $ R = 3H $.
© O alcance máximo será aproximadamente $ 980,0 , \mathrm{m} $.

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