Uma bola é atirada na horizomal de uma altura
batendo no chão com o triplo de sua velocidade inicial. (a) Qual a sua velocidade inicial? (b) após quanto tempo o vetor velocidade
forma um angulo de
com a horizontal. Faça uma estimativa para o caso de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma bola que é lançada horizontalmente de uma altura $ h $ e bate no chão com uma velocidade que é três vezes a velocidade inicial. A gente vai precisar usar os conceitos de cinemática, especificamente o movimento projetado. Para resolver esse problema, vamos analisar separadamente os movimentos horizontal e vertical da bola e usar algumas fórmulas básicas de velocidade e tempo de queda.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a): encontrar a velocidade inicial $ v_0 $. Como a bola é lançada horizontalmente, a velocidade inicial na horizontal é $ v_0 $ e na vertical é 0.
Passo 3
Vamos calcular o tempo que a bola leva para cair até o chão. Como o movimento vertical é livre, podemos usar a fórmula da queda livre:
Onde:
- $ h $ é a altura (40 m, no caso da estimativa),
- $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,8 , m/s^2 $),
- $ t $ é o tempo de queda.
Rearranjando para encontrar $ t $:
Passo 4
Agora, vamos determinar a velocidade vertical no momento do impacto. A velocidade vertical final $ v_y $ pode ser calculada por:
Substituindo o valor de $ t $ que encontramos:
Passo 5
A velocidade total no impacto $ v $ é composta pelas componentes horizontal e vertical. Assim, usamos o teorema de Pitágoras:
Segundo o enunciado, essa velocidade total é três vezes a velocidade inicial:
Passo 6
Substituindo $ v_y = \sqrt{2gh} $ na equação:
Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 7
Resolvendo para $ v_0 $:
Passo 8
Agora, para a parte (b): encontrar o tempo em que a velocidade forma um ângulo de $ \pi/4 $ com a horizontal. Isso significa que as componentes horizontal e vertical da velocidade são iguais, ou seja, $ v_y = v_0 $.
Sabemos que $ v_y = g t $, então:
Passo 9
Vamos agora fazer a estimativa com $ h = 40 , m $.
Primeiro, calculamos $ v_0 $:
Passo 10
Agora, calculamos o tempo $ t $:
Resposta
(a) A velocidade inicial da bola é aproximadamente $ 9,9 , m/s $.
(b) O tempo em que a velocidade forma um ângulo de $ \pi/4 $ com a horizontal é aproximadamente $ 1,01 $ segundos.