Uma bola é atirada na horizomal de uma altura h batendo no chão com o triplo de sua velocidade inicial. (a) Qual a sua velocidade inicial? (b) após quanto tempo o vetor velocidade v forma um angulo de pi / 4 com a horizontal. Faça uma estimativa para o caso de h=40 m

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma bola que é lançada horizontalmente de uma altura $ h $ e bate no chão com uma velocidade que é três vezes a velocidade inicial. A gente vai precisar usar os conceitos de cinemática, especificamente o movimento projetado. Para resolver esse problema, vamos analisar separadamente os movimentos horizontal e vertical da bola e usar algumas fórmulas básicas de velocidade e tempo de queda.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a): encontrar a velocidade inicial $ v_0 $. Como a bola é lançada horizontalmente, a velocidade inicial na horizontal é $ v_0 $ e na vertical é 0.

Passo 3

Vamos calcular o tempo que a bola leva para cair até o chão. Como o movimento vertical é livre, podemos usar a fórmula da queda livre:
h = 12 g t^2
Onde:
  • $ h $ é a altura (40 m, no caso da estimativa),
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,8 , m/s^2 $),
  • $ t $ é o tempo de queda.
Rearranjando para encontrar $ t $:
h

Passo 4

Agora, vamos determinar a velocidade vertical no momento do impacto. A velocidade vertical final $ v_y $ pode ser calculada por:
vy
Substituindo o valor de $ t $ que encontramos:
vy = g t

Passo 5

A velocidade total no impacto $ v $ é composta pelas componentes horizontal e vertical. Assim, usamos o teorema de Pitágoras:
v
Segundo o enunciado, essa velocidade total é três vezes a velocidade inicial:
v = raizv0^2 + vy^2

Passo 6

Substituindo $ v_y = \sqrt{2gh} $ na equação:
vy = raiz2gh
Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:
raizv0^2 + 2gh = 3v0

Passo 7

Resolvendo para $ v_0 $:
v0

Passo 8

Agora, para a parte (b): encontrar o tempo em que a velocidade forma um ângulo de $ \pi/4 $ com a horizontal. Isso significa que as componentes horizontal e vertical da velocidade são iguais, ou seja, $ v_y = v_0 $.
Sabemos que $ v_y = g t $, então:
pi/4

Passo 9

Vamos agora fazer a estimativa com $ h = 40 , m $.
Primeiro, calculamos $ v_0 $:
h = 40 , m

Passo 10

Agora, calculamos o tempo $ t $:
t

Resposta

(a) A velocidade inicial da bola é aproximadamente $ 9,9 , m/s $.
(b) O tempo em que a velocidade forma um ângulo de $ \pi/4 $ com a horizontal é aproximadamente $ 1,01 $ segundos.

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