Uma bola é jogada do solo para o ar. A uma altura
, a velocidade é
metros por segundo. (a) Qual a altura máxima alcançada pela bola? (b) Qual será a distância horizontal alcançada pela bola? © Qual a velocidade da bola (módulo e direção), no instante em que bate no solo?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma bola que foi jogada para o alto e, quando ela está a 10 metros de altura, sua velocidade tem componentes horizontais e verticais: $ v = 8\mathbf{i} + 6\mathbf{j} $ metros por segundo. Nosso objetivo é descobrir três coisas:
(a) A altura máxima que a bola alcança.
(b) A distância horizontal que a bola percorre.
© A velocidade da bola (tanto o módulo quanto a direção) quando ela volta a bater no chão.
(b) A distância horizontal que a bola percorre.
© A velocidade da bola (tanto o módulo quanto a direção) quando ela volta a bater no chão.
Para isso, vamos usar conceitos de movimento de projeção e cinemática. Vamos precisar entender como a velocidade e a posição mudam com o tempo, considerando a aceleração devida à gravidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parte (a): qual é a altura máxima que a bola alcança.
A altura máxima ocorre quando a componente vertical da velocidade da bola fica zero, ou seja, a bola para de subir e começa a cair. Vamos usar a equação da velocidade vertical:
Aqui, $ v_y $ é a velocidade vertical no tempo $ t $, $ v_{y0} $ é a velocidade vertical inicial, e $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,8 , m/s^2 $).
No ponto onde a altura é 10 metros, a velocidade vertical é 6 m/s. Então, vamos achar quanto tempo leva para a bola parar de subir a partir deste ponto.
Resolvendo para $ t $:
Passo 3
Agora, vamos calcular a altura adicional que a bola alcança nesse tempo. Usamos a equação da posição vertical:
Onde $ h_0 = 10 , m $, $ v_{y0} = 6 , m/s $, e $ t \approx 0,612 , s $. Substituindo:
Calculando cada termo:
Então,
Arredondando, a altura máxima é aproximadamente 11,84 metros.
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b): qual é a distância horizontal que a bola percorre.
A velocidade horizontal $ v_x $ é constante, já que não há aceleração horizontal (ignora-se a resistência do ar). Sabemos que $ v_x = 8 , m/s $.
Primeiro, precisamos saber o tempo total de voo da bola até ela bater no chão. Já sabemos que a bola sobe até 11,84 metros. Agora, vamos calcular o tempo total de subida e descida.
Usando a equação da posição vertical:
Quando a bola bate no chão, $ h = 0 $. Considerando $ h_0 = 10 , m $ e a velocidade vertical inicial no ponto de 10 metros $ v_{y0} = 6 , m/s $, temos:
Resolvendo a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como o tempo não pode ser negativo, ignoramos a solução negativa:
Agora, a distância horizontal:
Então, a distância horizontal é aproximadamente 17,36 metros.
Passo 5
Por fim, vamos resolver a parte ©: qual é a velocidade da bola quando ela bate no chão, tanto o módulo quanto a direção.
A velocidade horizontal $ v_x $ continua sendo $ 8 , m/s $.
A velocidade vertical $ v_y $ no instante de bater no chão pode ser encontrada usando:
Aqui, $ v_{y0} = 6 , m/s $ e $ t \approx 2,17 , s $:
O sinal negativo indica que a direção é para baixo.
Agora, o módulo da velocidade total $ v $ é dada por:
Para a direção, calculamos o ângulo $ \theta $ em relação à horizontal:
O ângulo negativo indica que a velocidade está abaixo da horizontal.
Resposta
(a) A altura máxima alcançada pela bola é aproximadamente 11,84 metros.
(b) A distância horizontal alcançada pela bola é aproximadamente 17,36 metros.
© A velocidade da bola no instante em que bate no solo tem módulo de aproximadamente 17,2 m/s e direção de 62° abaixo da horizontal.