A altura dos adultos de uma certa cidade tem distribuição Normal com média 164 cm e desvio padrão de 5,82 cm. Deseja-se saber se as condições sociais desfavoráveis vigentes na parte pobre desta cidade causam um retardamento no crescimento dessa população. Para isso, levantou-se uma amostra de 144 adultos dessa parte da cidade, obtendo média de 162 cm . Construa um intervalo, com 95 % de confiança, para a verdadeira altura média dos adultos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a altura dos adultos de uma certa cidade segue uma distribuição Normal, com média de 164 cm e desvio padrão de . Queremos investigar se as condições sociais desfavoráveis na parte mais pobre da cidade estão afetando o crescimento dessa população. Para isso, coletamos uma amostra de 144 adultos dessa área com uma média de altura de 162 cm. Nosso objetivo é construir um intervalo de confiança de para a verdadeira média das alturas desses adultos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, ele nos dá uma faixa de valores na qual acreditamos que a verdadeira média da população está, com um certo nível de confiança (neste caso, ).

Passo 3

Como temos o desvio padrão da população ( Intervalo de Confiança = barx pm z times ( sigmaraizn ) ) e uma amostra grande ( ), podemos usar a fórmula do intervalo de confiança para a média quando a distribuição é Normal:
ç
Aqui, é a média da amostra, é o valor crítico da distribuição Normal correspondente ao nível de confiança desejado, é o desvio padrão da população e é o tamanho da amostra.

Passo 4

Vamos identificar cada componente:
  • Média da amostra ( ): 162 cm
  • Desvio padrão da população ( ): 5,82 cm
  • Tamanho da amostra ( ): 144
  • Nível de confiança:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico z = 1,96 que corresponde a um nível de confiança de . Para isso, sabemos que da área sob a curva Normal está dentro de aproximadamente desvios padrão da média.

Passo 6

Vamos calcular o erro padrão ( EP = sigmaraizn = 5,82raiz144 = 5,8212 = 0,485,cm ), que é a medida de quanto a média da amostra pode variar em relação à média verdadeira da população:

Passo 7

Em seguida, calculamos a margem de erro ( ME = z times EP = 1,96 times 0,485 approx 0,951,cm ) multiplicando o valor crítico pelo erro padrão:

Passo 8

Agora, podemos construir o intervalo de confiança subtraindo e adicionando a margem de erro à média da amostra:
Limite Inferior = barx - ME = 162 - 0,951 = 161,049,cm
Limite Superior = barx + ME = 162 + 0,951 = 162,951,cm

Resposta

O intervalo de confiança de para a verdadeira média das alturas dos adultos na parte pobre dessa cidade é de aproximadamente a .

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