A altura dos adultos de uma certa cidade tem distribuição Normal com média 164 cm e desvio padrão de
. Deseja-se saber se as condições sociais desfavoráveis vigentes na parte pobre desta cidade causam um retardamento no crescimento dessa população. Para isso, levantou-se uma amostra de 144 adultos dessa parte da cidade, obtendo média de 162 cm . Construa um intervalo, com
de confiança, para a verdadeira altura média dos adultos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a altura dos adultos de uma certa cidade segue uma distribuição Normal, com média de 164 cm e desvio padrão de
. Queremos investigar se as condições sociais desfavoráveis na parte mais pobre da cidade estão afetando o crescimento dessa população. Para isso, coletamos uma amostra de 144 adultos dessa área com uma média de altura de 162 cm. Nosso objetivo é construir um intervalo de confiança de
para a verdadeira média das alturas desses adultos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, ele nos dá uma faixa de valores na qual acreditamos que a verdadeira média da população está, com um certo nível de confiança (neste caso,
).
Passo 3
Como temos o desvio padrão da população (
) e uma amostra grande (
), podemos usar a fórmula do intervalo de confiança para a média quando a distribuição é Normal:
Aqui,
é a média da amostra,
é o valor crítico da distribuição Normal correspondente ao nível de confiança desejado,
é o desvio padrão da população e
é o tamanho da amostra.
Passo 4
Vamos identificar cada componente:
- Média da amostra (
): 162 cm - Desvio padrão da população (
): 5,82 cm - Tamanho da amostra (
): 144 - Nível de confiança:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor crítico
que corresponde a um nível de confiança de
. Para isso, sabemos que
da área sob a curva Normal está dentro de aproximadamente
desvios padrão da média.
Passo 6
Vamos calcular o erro padrão (
), que é a medida de quanto a média da amostra pode variar em relação à média verdadeira da população:
Passo 7
Em seguida, calculamos a margem de erro (
) multiplicando o valor crítico
pelo erro padrão:
Passo 8
Agora, podemos construir o intervalo de confiança subtraindo e adicionando a margem de erro à média da amostra:
Resposta
O intervalo de confiança de
para a verdadeira média das alturas dos adultos na parte pobre dessa cidade é de aproximadamente
a
.