Mostre que dados
e
, vale:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que, para quaisquer números inteiros
e
, e um número natural
, a fórmula
é válida. Isso é basicamente a Teorema Binomial, que nos ajuda a expandir potências de binômios. Para resolver isso, vamos usar indução matemática, que é uma técnica super útil para provar coisas que valem para todos os números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a soma no lado direito da igualdade. A expressão
representa a soma de termos que envolvem combinações (
), potências de
e
. A combinação
nos diz de quantas maneiras podemos escolher
elementos de um conjunto de
.
Passo 3
Vamos começar a prova por indução matemática. A ideia é mostrar que a fórmula funciona para
e, se funcionar para um
qualquer, também funciona para
.
Passo 4
Base da indução (
):
Quando , temos:
Quando
E pela soma, quando
:
Então, a base da indução está certa!
Passo 5
Passo indutivo:
Assumimos que a fórmula vale para algum , ou seja:
Assumimos que a fórmula vale para algum
Agora, precisamos mostrar que ela também vale para
.
Passo 6
Vamos considerar
:
Usando a hipótese de indução:
Passo 7
Agora, distribuímos a multiplicação:
Passo 8
Vamos ajustar os índices da segunda soma para combinar com a primeira:
Agora, combinando as somas:
Passo 9
Sabemos que
(identidade combinatória). Então:
Isso mostra que a fórmula vale para
.
Resposta
Portanto, pela indução matemática, mostramos que para quaisquer
e
, vale: