Mostre que dados a, b in Z e k in N, vale: (a+b)^k=sumj=0^kbinomkj a^k-j b^j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que, para quaisquer números inteiros e , e um número natural , a fórmula é válida. Isso é basicamente a Teorema Binomial, que nos ajuda a expandir potências de binômios. Para resolver isso, vamos usar indução matemática, que é uma técnica super útil para provar coisas que valem para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a soma no lado direito da igualdade. A expressão representa a soma de termos que envolvem combinações ( ), potências de e . A combinação nos diz de quantas maneiras podemos escolher elementos de um conjunto de .

Passo 3

Vamos começar a prova por indução matemática. A ideia é mostrar que a fórmula funciona para e, se funcionar para um qualquer, também funciona para .

Passo 4

Base da indução ( (a + b)^0 = 1 ):
Quando sumj=0^0 binom0j a^0-j b^j = binom00 a^0 b^0 = 1 times 1 times 1 = 1 , temos:
E pela soma, quando :
Então, a base da indução está certa!

Passo 5

Passo indutivo:
Assumimos que a fórmula vale para algum (a + b)^n = sumj=0^n binomnj a^n-j b^j , ou seja:
Agora, precisamos mostrar que ela também vale para .

Passo 6

Vamos considerar (a + b)^n+1 = (a + b)^n times (a + b) :
= ( sumj=0^n binomnj a^n-j b^j ) times (a + b)
Usando a hipótese de indução:

Passo 7

Agora, distribuímos a multiplicação:
= sumj=0^n binomnj a^n-j b^j times a + sumj=0^n binomnj a^n-j b^j times b
= sumj=0^n binomnj a^(n+1)-j b^j + sumj=0^n binomnj a^n-j b^j+1

Passo 8

Vamos ajustar os índices da segunda soma para combinar com a primeira:
= sumj=0^n binomnj a^(n+1)-j b^j + sumj=1^n+1 binomnj-1 a^(n+1)-j b^j
Agora, combinando as somas:
= sumj=0^n+1 [ binomnj + binomnj-1 ] a^(n+1)-j b^j

Passo 9

Sabemos que = sumj=0^n+1 binomn+1j a^(n+1)-j b^j (identidade combinatória). Então:
Isso mostra que a fórmula vale para .

Resposta

Portanto, pela indução matemática, mostramos que para quaisquer (a + b)^k = sumj=0^k binomkj a^k-j b^j e , vale:

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