De quantos modos é possível dividir 20 pessoas:
(b) em quatro grupos de 5 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir de quantos jeitos podemos dividir 20 pessoas em quatro grupos de 5 cada. Isso está dentro da área de combinatória, que estuda como contar arranjos e combinações. Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas de contagem que lidam com grupos e distribuição de itens.

Passo 2

Primeiro, imaginemos que queremos formar o primeiro grupo de 5 pessoas. Para isso, temos que escolher 5 pessoas dentre as 20 disponíveis. A forma de calcular isso é usando combinações, que são representadas por:
binom205

Passo 3

Depois de formar o primeiro grupo, restam 15 pessoas. Agora, queremos formar o segundo grupo de 5. Usamos novamente a combinação:
binom155

Passo 4

Continuando, com 10 pessoas restantes, formamos o terceiro grupo:
binom105

Passo 5

Por fim, as últimas 5 pessoas formarão o quarto grupo. Já que todas elas vão para o grupo, temos apenas uma maneira de fazer isso:
binom55 = 1

Passo 6

Agora, para encontrar o total de maneiras de formar os quatro grupos, multiplicamos todas essas combinações:
binom205 times binom155 times binom105 times binom55

Passo 7

No entanto, como os grupos são indistinguíveis (não importa a ordem dos grupos), estamos contando cada divisão várias vezes. Para corrigir isso, precisamos dividir pelo número de maneiras de organizar os 4 grupos, que é binom205 times binom155 times binom105 times binom554! :

Passo 8

Simplificando as combinações com fatoriais, a expressão fica:
20!(5!)^4 times 4!

Resposta

O número de maneiras de dividir 20 pessoas em quatro grupos de 5 é:
20!(5!)^4 times 4!

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