A altura dos adultos de uma certa cidade tem distribuição Normal com média 164 cm e desvio padrão de
. Deseja-se saber se as condições sociais desfavoráveis vigentes na parte pobre desta cidade causam um retardamento no crescimento dessa população. Para isso, levantou-se uma amostra de 144 adultos dessa parte da cidade, obtendo média de 162 cm . Pode esse resultado indicar que os adultos residentes na área são em média mais baixos que os demais habitantes da cidade, ao nível de
de significância?
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo e quais conceitos vamos utilizar para resolvê-lo. Temos que a altura dos adultos de uma certa cidade segue uma distribuição Normal com média de 164 cm e desvio padrão de
. Queremos saber se, na área pobre dessa cidade, as condições sociais desfavoráveis estão associadas a uma média de altura menor. Para isso, utilizaremos uma amostra de 144 adultos dessa área com média observada de 162 cm. Vamos usar teste de hipóteses para a média para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, estabelecemos as hipóteses que vamos testar:
- Hipótese nula (
): A média das alturas na área pobre é igual à média da cidade, ou seja, . - Hipótese alternativa (
): A média das alturas na área pobre é menor que a média da cidade, ou seja, .
Estamos fazendo um teste unilateral porque queremos saber apenas se a média é menor.
Passo 3
Calculamos o erro padrão da média, que nos indica a variabilidade da média amostral. A fórmula é:
Passo 4
Em seguida, calculamos o valor do teste estatístico
, que nos mostra quantos desvios padrão a média observada está da média hipotética:
Passo 5
Determinar o valor crítico para o nível de significância de 5% em um teste unilateral à esquerda. Consultando a tabela da distribuição Normal, encontramos que o valor crítico é aproximadamente
.
Passo 6
Comparamos o valor do teste
com o valor crítico:
- Se
, rejeitamos a hipótese nula. - Se
, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso,
.
Resposta
Como o valor de
está na região de rejeição (
), rejeitamos a hipótese nula. Portanto, há evidências suficientes, ao nível de 5% de significância, para concluir que os adultos residentes na área pobre são, em média, mais baixos que a média da cidade.