A altura dos adultos de uma certa cidade tem distribuição Normal com média 164 cm e desvio padrão de 5,82 cm. Deseja-se saber se as condições sociais desfavoráveis vigentes na parte pobre desta cidade causam um retardamento no crescimento dessa população. Para isso, levantou-se uma amostra de 144 adultos dessa parte da cidade, obtendo média de 162 cm . Pode esse resultado indicar que os adultos residentes na área são em média mais baixos que os demais habitantes da cidade, ao nível de 5 % de significância?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo e quais conceitos vamos utilizar para resolvê-lo. Temos que a altura dos adultos de uma certa cidade segue uma distribuição Normal com média de 164 cm e desvio padrão de . Queremos saber se, na área pobre dessa cidade, as condições sociais desfavoráveis estão associadas a uma média de altura menor. Para isso, utilizaremos uma amostra de 144 adultos dessa área com média observada de 162 cm. Vamos usar teste de hipóteses para a média para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, estabelecemos as hipóteses que vamos testar:
  • Hipótese nula ( ): A média das alturas na área pobre é igual à média da cidade, ou seja, .
  • Hipótese alternativa ( ): A média das alturas na área pobre é menor que a média da cidade, ou seja, .
Estamos fazendo um teste unilateral porque queremos saber apenas se a média é menor.

Passo 3

Calculamos o erro padrão da média, que nos indica a variabilidade da média amostral. A fórmula é:
Erro Padrão = sigmaraizn = 5,82raiz144 = 5,8212 = 0,485,cm ã

Passo 4

Em seguida, calculamos o valor do teste estatístico Z = barx - muErro Padrão = 162 - 1640,485 = -20,485 approx -4,123 , que nos mostra quantos desvios padrão a média observada está da média hipotética:
ã

Passo 5

Determinar o valor crítico para o nível de significância de 5% em um teste unilateral à esquerda. Consultando a tabela da distribuição Normal, encontramos que o valor crítico é aproximadamente .

Passo 6

Comparamos o valor do teste com o valor crítico:
  • Se , rejeitamos a hipótese nula.
  • Se , não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso, .

Resposta

Como o valor de está na região de rejeição ( ), rejeitamos a hipótese nula. Portanto, há evidências suficientes, ao nível de 5% de significância, para concluir que os adultos residentes na área pobre são, em média, mais baixos que a média da cidade.

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