Mostre que
© sump=0^nbinomnp=2^n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que a soma dos coeficientes binomiais é igual a . Isso faz parte da matéria de Teoria dos Conjuntos e Álgebra Combinatória, especificamente envolvendo Coeficientes Binomiais e o Teorema do Binômio. Para resolver, vamos precisar entender como expandir expressões usando o Teorema do Binômio e como isso se relaciona com os coeficientes binomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema do Binômio, que diz que:
(a + b)^n = sumk=0^nbinomnka^kb^n-k
Aqui, é o coeficiente binomial, que conta o número de maneiras de escolher elementos de um conjunto de elementos.

Passo 3

Agora, para facilitar, vamos substituir (1 + 1)^n = sumk=0^nbinomnk1^k1^n-k e (1 + 1)^n = sumk=0^nbinomnk por 1 na fórmula do Teorema do Binômio:
Simplificando os termos e , já que qualquer número elevado a qualquer potência ainda é 1:

Passo 4

Agora, vamos calcular o lado esquerdo da igualdade:
(1 + 1)^n = 2^n
Então, temos:
2^n = sumk=0^nbinomnk

Resposta

Portanto, mostramos que:
sump=0^nbinomnp = 2^n

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