Mostre que
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que a soma dos coeficientes binomiais
é igual a
. Isso faz parte da matéria de Teoria dos Conjuntos e Álgebra Combinatória, especificamente envolvendo Coeficientes Binomiais e o Teorema do Binômio. Para resolver, vamos precisar entender como expandir expressões usando o Teorema do Binômio e como isso se relaciona com os coeficientes binomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema do Binômio, que diz que:
Aqui,
é o coeficiente binomial, que conta o número de maneiras de escolher
elementos de um conjunto de
elementos.
Passo 3
Agora, para facilitar, vamos substituir
e
por 1 na fórmula do Teorema do Binômio:
Simplificando os termos
e
, já que qualquer número elevado a qualquer potência ainda é 1:
Passo 4
Agora, vamos calcular o lado esquerdo da igualdade:
Então, temos:
Resposta
Portanto, mostramos que: